Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 30
b = 15
c = 33,54

Obsah trojuholníka: S = 2254,9999993502
Obvod trojuholníka: o = 78,54
Semiperimeter (poloobvod): s = 39,27

Uhol ∠ A = α = 63,4388432446° = 63°26'18″ = 1,10772095185 rad
Uhol ∠ B = β = 26,56659220332° = 26°33'57″ = 0,46436628083 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,99656455208° = 89°59'44″ = 1,57107203268 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 154,9999999567
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 309,9999999134
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 13,41768157036

Ťažnica: t_a = 21,21223973185
Ťažnica: t_b = 30,9232739206
Ťažnica: t_c = 16,7711019647

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,73295645365
Polomer opísanej kružnice: R = 16,77700000484

Súradnice vrcholov: A[33,54; 0] B[0; 0] C[26,83326118068; 13,41768157036]
Ťažisko: T[20,12442039356; 4,47222719012]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[16,77; 0,001127452]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[24,27; 5,73295645365]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 116,5621567554° = 116°33'42″ = 1,10772095185 rad
∠ B' = β' = 153,43440779668° = 153°26'3″ = 0,46436628083 rad
∠ C' = γ' = 90,00443544792° = 90°16″ = 1,57107203268 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 30 b = 15 c = 33, 54

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 30 + 15 + 33, 54 = 78, 54

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 8 , 5 4}{2} = 39, 27

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 39, 27 (39, 27 - 30) (39, 27 - 15) (39, 27 - 33, 54) S = 50625 = 225

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 2 5}{3 0} = 15 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 2 5}{1 5} = 30 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 2 5}{3 3 , 5 4} = 13, 42

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 3 3 , 5 4 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 3 3 , 5 4}) = 63 ° 2 6^{'} 18 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 0 ^{2} + 3 3 , 5 4 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 3 0 \cdot 3 3 , 5 4}) = 26 ° 3 3^{'} 57 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 63 ° 2 6^{'} 18 " - 26 ° 3 3^{'} 57 " = 89 ° 5 9^{'} 44 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 2 5}{3 9 , 2 7} = 5, 73

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 0 \cdot 1 5 \cdot 3 3 , 5 4}{4 \cdot 5 , 7 3 \cdot 3 9 , 2 7} = 16, 77

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

Vypočítať ďaľší trojuholník