Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 34
b = 34
c = 10

Obsah trojuholníka: S = 168,1521717208
Obvod trojuholníka: o = 78
Semiperimeter (poloobvod): s = 39

Uhol ∠ A = α = 81,54334806647° = 81°32'37″ = 1,42332022211 rad
Uhol ∠ B = β = 81,54334806647° = 81°32'37″ = 1,42332022211 rad
Uhol ∠ C = γ = 16,91330386705° = 16°54'47″ = 0,29551882113 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 9,89112774828
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 9,89112774828
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 33,63303434416

Ťažnica: t_a = 18,41219526395
Ťažnica: t_b = 18,41219526395
Ťažnica: t_c = 33,63303434416

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,31215824925
Polomer opísanej kružnice: R = 17,18768598667

Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[5; 33,63303434416]
Ťažisko: T[5; 11,21101144805]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; 16,44334835749]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 4,31215824925]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 98,45765193353° = 98°27'23″ = 1,42332022211 rad
∠ B' = β' = 98,45765193353° = 98°27'23″ = 1,42332022211 rad
∠ C' = γ' = 163,08769613295° = 163°5'13″ = 0,29551882113 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 34 b = 34 c = 10

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 34 + 34 + 10 = 78

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 8}{2} = 39

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 39 (39 - 34) (39 - 34) (39 - 10) S = 28275 = 168, 15

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 6 8 , 1 5}{3 4} = 9, 89 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 6 8 , 1 5}{3 4} = 9, 89 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 6 8 , 1 5}{1 0} = 33, 63

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 4 ^{2} + 1 0 ^{2} - 3 4 ^{2}}{2 \cdot 3 4 \cdot 1 0}) = 81 ° 3 2^{'} 37 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 4 ^{2} + 1 0 ^{2} - 3 4 ^{2}}{2 \cdot 3 4 \cdot 1 0}) = 81 ° 3 2^{'} 37 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 81 ° 3 2^{'} 37 " - 81 ° 3 2^{'} 37 " = 16 ° 5 4^{'} 47 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 6 8 , 1 5}{3 9} = 4, 31

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 4 \cdot 3 4 \cdot 1 0}{4 \cdot 4 , 3 1 2 \cdot 3 9} = 17, 19

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 4 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 3 4 ^{2}}{2} = 18, 412 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 3 4 ^{2} - 3 4 ^{2}}{2} = 18, 412 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 4 ^{2} + 2 \cdot 3 4 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 33, 63

Vypočítať ďaľší trojuholník