Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 35
b = 42
c = 35

Obsah trojuholníka: S = 588
Obvod trojuholníka: o = 112
Semiperimeter (poloobvod): s = 56

Uhol ∠ A = α = 53,13301023542° = 53°7'48″ = 0,9277295218 rad
Uhol ∠ B = β = 73,74397952917° = 73°44'23″ = 1,28770022176 rad
Uhol ∠ C = γ = 53,13301023542° = 53°7'48″ = 0,9277295218 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 33,6
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 28
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 33,6

Ťažnica: t_a = 34,47110023063
Ťažnica: t_b = 28
Ťažnica: t_c = 34,47110023063

Polomer vpísanej kružnice: r = 10,5
Polomer opísanej kružnice: R = 21,875

Súradnice vrcholov: A[35; 0] B[0; 0] C[9,8; 33,6]
Ťažisko: T[14,93333333333; 11,2]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[17,5; 13,125]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[14; 10,5]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 126,87698976458° = 126°52'12″ = 0,9277295218 rad
∠ B' = β' = 106,26602047083° = 106°15'37″ = 1,28770022176 rad
∠ C' = γ' = 126,87698976458° = 126°52'12″ = 0,9277295218 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 35 b = 42 c = 35

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 35 + 42 + 35 = 112

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 1 2}{2} = 56

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 56 (56 - 35) (56 - 42) (56 - 35) S = 345744 = 588

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 8 8}{3 5} = 33, 6 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 8 8}{4 2} = 28 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 8 8}{3 5} = 33, 6

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{4 2 ^{2} + 3 5 ^{2} - 3 5 ^{2}}{2 \cdot 4 2 \cdot 3 5}) = 53 ° 7^{'} 48 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 5 ^{2} + 3 5 ^{2} - 4 2 ^{2}}{2 \cdot 3 5 \cdot 3 5}) = 73 ° 4 4^{'} 23 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 53 ° 7^{'} 48 " - 73 ° 4 4^{'} 23 " = 53 ° 7^{'} 48 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 8 8}{5 6} = 10, 5

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 5 \cdot 4 2 \cdot 3 5}{4 \cdot 1 0 , 5 \cdot 5 6} = 21, 88

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 2 ^{2} + 2 \cdot 3 5 ^{2} - 3 5 ^{2}}{2} = 34, 471 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 5 ^{2} + 2 \cdot 3 5 ^{2} - 4 2 ^{2}}{2} = 28 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 5 ^{2} + 2 \cdot 4 2 ^{2} - 3 5 ^{2}}{2} = 34, 471

Vypočítať ďaľší trojuholník