Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 36
b = 30
c = 46,86

Obsah trojuholníka: S = 5409,9999988593
Obvod trojuholníka: o = 112,86
Semiperimeter (poloobvod): s = 56,43

Uhol ∠ A = α = 50,19766268221° = 50°11'48″ = 0,87660964114 rad
Uhol ∠ B = β = 39,80770974035° = 39°48'26″ = 0,69547649154 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,99662757743° = 89°59'47″ = 1,57107313268 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 309,9999999366
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 365,999999924
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 23,04773751114

Ťažnica: t_a = 34,9854708088
Ťažnica: t_b = 38,99990999896
Ťažnica: t_c = 23,43114980315

Polomer vpísanej kružnice: r = 9,56993779702
Polomer opísanej kružnice: R = 23,43300000495

Súradnice vrcholov: A[46,86; 0] B[0; 0] C[27,65553521127; 23,04773751114]
Ťažisko: T[24,83884507042; 7,68224583705]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[23,43; 0,002152295]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[26,43; 9,56993779702]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 129,80333731779° = 129°48'12″ = 0,87660964114 rad
∠ B' = β' = 140,19329025965° = 140°11'34″ = 0,69547649154 rad
∠ C' = γ' = 90,00437242257° = 90°13″ = 1,57107313268 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 36 b = 30 c = 46, 86

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 36 + 30 + 46, 86 = 112, 86

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 1 2 , 8 6}{2} = 56, 43

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 56, 43 (56, 43 - 36) (56, 43 - 30) (56, 43 - 46, 86) S = 291600 = 540

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 4 0}{3 6} = 30 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 4 0}{3 0} = 36 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 4 0}{4 6 , 8 6} = 23, 05

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 0 ^{2} + 4 6 , 8 6 ^{2} - 3 6 ^{2}}{2 \cdot 3 0 \cdot 4 6 , 8 6}) = 50 ° 1 1^{'} 48 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 6 ^{2} + 4 6 , 8 6 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2 \cdot 3 6 \cdot 4 6 , 8 6}) = 39 ° 4 8^{'} 26 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 50 ° 1 1^{'} 48 " - 39 ° 4 8^{'} 26 " = 89 ° 5 9^{'} 47 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 4 0}{5 6 , 4 3} = 9, 57

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 6 \cdot 3 0 \cdot 4 6 , 8 6}{4 \cdot 9 , 5 6 9 \cdot 5 6 , 4 3} = 23, 43

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

Vypočítať ďaľší trojuholník