Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 369,11
b = 369,11
c = 0,91

Obsah trojuholníka: S = 167,94549224006
Obvod trojuholníka: o = 739,13
Semiperimeter (poloobvod): s = 369,565

Uhol ∠ A = α = 89,92993717692° = 89°55'46″ = 1,57695636316 rad
Uhol ∠ B = β = 89,92993717692° = 89°55'46″ = 1,57695636316 rad
Uhol ∠ C = γ = 0,14112564617° = 0°8'29″ = 0,00224653903 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 0,91099993086
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 0,91099993086
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 369,11097195618

Ťažnica: t_a = 184,55661217489
Ťažnica: t_b = 184,55661217489
Ťažnica: t_c = 369,11097195618

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,45444394691
Polomer opísanej kružnice: R = 184,55551402192

Súradnice vrcholov: A[0,91; 0] B[0; 0] C[0,455; 369,11097195618]
Ťažisko: T[0,455; 123,03765731873]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[0,455; 184,55545793426]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[0,455; 0,45444394691]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 90,07106282308° = 90°4'14″ = 1,57695636316 rad
∠ B' = β' = 90,07106282308° = 90°4'14″ = 1,57695636316 rad
∠ C' = γ' = 179,85987435384° = 179°51'31″ = 0,00224653903 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 369, 11 b = 369, 11 c = 0, 91

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 369, 11 + 369, 11 + 0, 91 = 739, 13

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 3 9 , 1 3}{2} = 369, 57

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 369, 57 (369, 57 - 369, 11) (369, 57 - 369, 11) (369, 57 - 0, 91) S = 28205, 5 = 167, 94

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 6 7 , 9 4}{3 6 9 , 1 1} = 0, 91 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 6 7 , 9 4}{3 6 9 , 1 1} = 0, 91 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 6 7 , 9 4}{0 , 9 1} = 369, 11

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 6 9 , 1 1 ^{2} + 0 , 9 1 ^{2} - 3 6 9 , 1 1 ^{2}}{2 \cdot 3 6 9 , 1 1 \cdot 0 , 9 1}) = 89 ° 5 5^{'} 46 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 6 9 , 1 1 ^{2} + 0 , 9 1 ^{2} - 3 6 9 , 1 1 ^{2}}{2 \cdot 3 6 9 , 1 1 \cdot 0 , 9 1}) = 89 ° 5 5^{'} 46 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 89 ° 5 5^{'} 46 " - 89 ° 5 5^{'} 46 " = 0 ° 8^{'} 29 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 6 7 , 9 4}{3 6 9 , 5 7} = 0, 45

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 6 9 , 1 1 \cdot 3 6 9 , 1 1 \cdot 0 , 9 1}{4 \cdot 0 , 4 5 4 \cdot 3 6 9 , 5 6 5} = 184, 56

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 6 9 , 1 1 ^{2} + 2 \cdot 0 , 9 1 ^{2} - 3 6 9 , 1 1 ^{2}}{2} = 184, 556 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 0 , 9 1 ^{2} + 2 \cdot 3 6 9 , 1 1 ^{2} - 3 6 9 , 1 1 ^{2}}{2} = 184, 556 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 6 9 , 1 1 ^{2} + 2 \cdot 3 6 9 , 1 1 ^{2} - 0 , 9 1 ^{2}}{2} = 369, 11

Vypočítať ďaľší trojuholník