Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 37
b = 37
c = 4
Obsah trojuholníka: S = 73,89218128076
Obvod trojuholníka: o = 78
Semiperimeter (poloobvod): s = 39
Uhol ∠ A = α = 86,90114206602° = 86°54'5″ = 1,51767159152 rad
Uhol ∠ B = β = 86,90114206602° = 86°54'5″ = 1,51767159152 rad
Uhol ∠ C = γ = 6,19771586796° = 6°11'50″ = 0,10881608232 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 3,99441520437
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 3,99441520437
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 36,94659064038
Ťažnica: ta = 18,71549672722
Ťažnica: tb = 18,71549672722
Ťažnica: tc = 36,94659064038
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,89546618669
Polomer opísanej kružnice: R = 18,52770863981
Súradnice vrcholov: A[4; 0] B[0; 0] C[2; 36,94659064038]
Ťažisko: T[2; 12,31553021346]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[2; 18,41988200057]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2; 1,89546618669]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 93,09985793398° = 93°5'55″ = 1,51767159152 rad
∠ B' = β' = 93,09985793398° = 93°5'55″ = 1,51767159152 rad
∠ C' = γ' = 173,80328413204° = 173°48'10″ = 0,10881608232 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=37 b=37 c=4
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=37+37+4=78
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=278=39
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=39(39−37)(39−37)(39−4) S=5460=73,89
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=372⋅ 73,89=3,99 vb=b2 S=372⋅ 73,89=3,99 vc=c2 S=42⋅ 73,89=36,95
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 37⋅ 4372+42−372)=86°54′5" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 37⋅ 4372+42−372)=86°54′5" γ=180°−α−β=180°−86°54′5"−86°54′5"=6°11′50"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=3973,89=1,89
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,895⋅ 3937⋅ 37⋅ 4=18,53
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 372+2⋅ 42−372=18,715 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 42+2⋅ 372−372=18,715 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 372+2⋅ 372−42=36,946
Vypočítať ďaľší trojuholník