Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 380
b = 420,12
c = 284

Obsah trojuholníka: S = 52576,9087687305
Obvod trojuholníka: o = 1084,12
Semiperimeter (poloobvod): s = 542,06

Uhol ∠ A = α = 61,80219357238° = 61°48'7″ = 1,07986472625 rad
Uhol ∠ B = β = 776,9995232258° = 76°59'58″ = 1,34438952028 rad
Uhol ∠ C = γ = 41,19985410504° = 41°11'55″ = 0,71990501883 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 276,72105667753
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 250,29547143069
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 370,26599132909

Ťažnica: t_a = 304,10326260985
Ťažnica: t_b = 261,53992827091
Ťažnica: t_c = 374,54882708544

Polomer vpísanej kružnice: r = 96,99546273241
Polomer opísanej kružnice: R = 215,58658550566

Súradnice vrcholov: A[284; 0] B[0; 0] C[85,48444816901; 370,26599132909]
Ťažisko: T[123,16114938967; 123,4219971097]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[142; 162,21436273575]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[121,94; 96,99546273241]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 118,19880642762° = 118°11'53″ = 1,07986472625 rad
∠ B' = β' = 1033,0004767742° = 103°2″ = 1,34438952028 rad
∠ C' = γ' = 138,80114589496° = 138°48'5″ = 0,71990501883 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 380 b = 420, 12 c = 284

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 380 + 420, 12 + 284 = 1084, 12

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 0 8 4 , 1 2}{2} = 542, 06

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 542, 06 (542, 06 - 380) (542, 06 - 420, 12) (542, 06 - 284) S = 2764331221, 96 = 52576, 91

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 2 5 7 6 , 9 1}{3 8 0} = 276, 72 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 2 5 7 6 , 9 1}{4 2 0 , 1 2} = 250, 29 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 2 5 7 6 , 9 1}{2 8 4} = 370, 26

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{4 2 0 , 1 2 ^{2} + 2 8 4 ^{2} - 3 8 0 ^{2}}{2 \cdot 4 2 0 , 1 2 \cdot 2 8 4}) = 61 ° 4 8^{'} 7 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 8 0 ^{2} + 2 8 4 ^{2} - 4 2 0 , 1 2 ^{2}}{2 \cdot 3 8 0 \cdot 2 8 4}) = 76 ° 5 9^{'} 58 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 61 ° 4 8^{'} 7 " - 76 ° 5 9^{'} 58 " = 41 ° 1 1^{'} 55 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 2 5 7 6 , 9 1}{5 4 2 , 0 6} = 96, 99

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 8 0 \cdot 4 2 0 , 1 2 \cdot 2 8 4}{4 \cdot 9 6 , 9 9 5 \cdot 5 4 2 , 0 6} = 215, 59

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 2 0 , 1 2 ^{2} + 2 \cdot 2 8 4 ^{2} - 3 8 0 ^{2}}{2} = 304, 103 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 4 ^{2} + 2 \cdot 3 8 0 ^{2} - 4 2 0 , 1 2 ^{2}}{2} = 261, 539 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 8 0 ^{2} + 2 \cdot 4 2 0 , 1 2 ^{2} - 2 8 4 ^{2}}{2} = 374, 548

Vypočítať ďaľší trojuholník