Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 4
b = 4
c = 5,66
Obsah trojuholníka: S = 87,9999950494
Obvod trojuholníka: o = 13,66
Semiperimeter (poloobvod): s = 6,83
Uhol ∠ A = α = 44,96881292161° = 44°58'5″ = 0,78548419133 rad
Uhol ∠ B = β = 44,96881292161° = 44°58'5″ = 0,78548419133 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,06437415679° = 90°3'49″ = 1,5721908827 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 43,9999975247
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 43,9999975247
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 2,82768533743
Ťažnica: ta = 4,47441256129
Ťažnica: tb = 4,47441256129
Ťažnica: tc = 2,82768533743
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,17113023498
Polomer opísanej kružnice: R = 2,83300017513
Súradnice vrcholov: A[5,66; 0] B[0; 0] C[2,83; 2,82768533743]
Ťažisko: T[2,83; 0,94222844581]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[2,83; -0,00331483769]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,83; 1,17113023498]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 135,03218707839° = 135°1'55″ = 0,78548419133 rad
∠ B' = β' = 135,03218707839° = 135°1'55″ = 0,78548419133 rad
∠ C' = γ' = 89,93662584321° = 89°56'11″ = 1,5721908827 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=4 b=4 c=5,66
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=4+4+5,66=13,66
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=213,66=6,83
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=6,83(6,83−4)(6,83−4)(6,83−5,66) S=64=8
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 8=4 vb=b2 S=42⋅ 8=4 vc=c2 S=5,662⋅ 8=2,83
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 4⋅ 5,6642+5,662−42)=44°58′5" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 5,6642+5,662−42)=44°58′5" γ=180°−α−β=180°−44°58′5"−44°58′5"=90°3′49"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=6,838=1,17
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,171⋅ 6,834⋅ 4⋅ 5,66=2,83
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 42+2⋅ 5,662−42=4,474 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 5,662+2⋅ 42−42=4,474 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 42−5,662=2,827
Vypočítať ďaľší trojuholník