Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 4
b = 6
c = 5,29

Obsah trojuholníka: S = 10,39900088643
Obvod trojuholníka: o = 15,29
Semiperimeter (poloobvod): s = 7,645

Uhol ∠ A = α = 40,8976523532° = 40°53'47″ = 0,71437789883 rad
Uhol ∠ B = β = 79,12553942124° = 79°7'31″ = 1,38109986509 rad
Uhol ∠ C = γ = 59,97880822555° = 59°58'41″ = 1,04768150144 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 5,19550044321
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 3,46333362881
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 3,92881697029

Ťažnica: t_a = 5,29107513644
Ťažnica: t_b = 3,60444486402
Ťažnica: t_c = 4,35993548835

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,35990593675
Polomer opísanej kružnice: R = 3,05548578365

Súradnice vrcholov: A[5,29; 0] B[0; 0] C[0,75546408318; 3,92881697029]
Ťažisko: T[2,01548802773; 1,3099389901]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[2,645; 1,52884408399]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,645; 1,35990593675]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 139,1033476468° = 139°6'13″ = 0,71437789883 rad
∠ B' = β' = 100,87546057876° = 100°52'29″ = 1,38109986509 rad
∠ C' = γ' = 120,02219177445° = 120°1'19″ = 1,04768150144 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 4 b = 6 c = 5, 29

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 4 + 6 + 5, 29 = 15, 29

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 5 , 2 9}{2} = 7, 65

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 , 3 9}{4} = 5, 2 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 , 3 9}{6} = 3, 46 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 , 3 9}{5 , 2 9} = 3, 93

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 5 , 2 9 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 5 , 2 9}) = 40 ° 5 3^{'} 47 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 5 , 2 9 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 5 , 2 9}) = 79 ° 7^{'} 31 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 40 ° 5 3^{'} 47 " - 79 ° 7^{'} 31 " = 59 ° 5 8^{'} 41 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 , 3 9}{7 , 6 5} = 1, 36

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 \cdot 6 \cdot 5 , 2 9}{4 \cdot 1 , 3 5 9 \cdot 7 , 6 4 5} = 3, 05

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

Vypočítať ďaľší trojuholník