Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 4
b = 9,9
c = 10,68

Obsah trojuholníka: S = 19.87999956664
Obvod trojuholníka: o = 24,58
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,29

Uhol ∠ A = α = 21,99553752897° = 21°59'43″ = 0,3843891719 rad
Uhol ∠ B = β = 67,96767168938° = 67°58' = 1,18662429916 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,03879078165° = 90°2'16″ = 1,5711457943 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 9.98999978332
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 43,9999991245
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 3,7087864357

Ťažnica: t_a = 10,10112969464
Ťažnica: t_b = 6,36662155163
Ťažnica: t_c = 5,33875462527

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,61110655546
Polomer opísanej kružnice: R = 5,34400011688

Súradnice vrcholov: A[10,68; 0] B[0; 0] C[1,50105805243; 3,7087864357]
Ťažisko: T[4,06601935081; 1,23659547857]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,34; -0,00435330311]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,39; 1,61110655546]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 158,00546247103° = 158°17″ = 0,3843891719 rad
∠ B' = β' = 112,03332831062° = 112°2' = 1,18662429916 rad
∠ C' = γ' = 89,96220921835° = 89°57'44″ = 1,5711457943 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 4 b = 9, 9 c = 10, 68

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 4 + 9, 9 + 10, 68 = 24, 58

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 4 , 5 8}{2} = 12, 29

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 12, 29 (12, 29 - 4) (12, 29 - 9, 9) (12, 29 - 10, 68) S = 392, 04 = 19, 8

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 9 , 8}{4} = 9, 9 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 9 , 8}{9 , 9} = 4 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 9 , 8}{1 0 , 6 8} = 3, 71

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 , 9 ^{2} + 1 0 , 6 8 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 9 , 9 \cdot 1 0 , 6 8}) = 21 ° 5 9^{'} 43 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 1 0 , 6 8 ^{2} - 9 , 9 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 1 0 , 6 8}) = 67 ° 5 8^{'} γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 21 ° 5 9^{'} 43 " - 67 ° 5 8^{'} = 90 ° 2^{'} 16 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 9 , 8}{1 2 , 2 9} = 1, 61

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 \cdot 9 , 9 \cdot 1 0 , 6 8}{4 \cdot 1 , 6 1 1 \cdot 1 2 , 2 9} = 5, 34

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 , 9 ^{2} + 2 \cdot 1 0 , 6 8 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 10, 101 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 , 6 8 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 9 , 9 ^{2}}{2} = 6, 366 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 9 , 9 ^{2} - 1 0 , 6 8 ^{2}}{2} = 5, 338

Vypočítať ďaľší trojuholník