Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 40
b = 30
c = 60
Obsah trojuholníka: S = 533,26882251925
Obvod trojuholníka: o = 130
Semiperimeter (poloobvod): s = 65
Uhol ∠ A = α = 36,33660575146° = 36°20'10″ = 0,63441838408 rad
Uhol ∠ B = β = 26,38443297494° = 26°23'4″ = 0,46604934251 rad
Uhol ∠ C = γ = 117,2879612736° = 117°16'47″ = 2,04769153877 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 26,66334112596
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 35,55112150128
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 17,77656075064
Ťažnica: ta = 43,01216263352
Ťažnica: tb = 48,7343971724
Ťažnica: tc = 18,70882869339
Polomer vpísanej kružnice: r = 8,20441265414
Polomer opísanej kružnice: R = 33,75441206276
Súradnice vrcholov: A[60; 0] B[0; 0] C[35,83333333333; 17,77656075064]
Ťažisko: T[31,94444444444; 5,92552025021]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[30; -15,4710638621]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[35; 8,20441265414]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 143,66439424854° = 143°39'50″ = 0,63441838408 rad
∠ B' = β' = 153,61656702506° = 153°36'56″ = 0,46604934251 rad
∠ C' = γ' = 62,7220387264° = 62°43'13″ = 2,04769153877 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=40 b=30 c=60
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=40+30+60=130
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=2130=65
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=65(65−40)(65−30)(65−60) S=284375=533,27
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=402⋅ 533,27=26,66 vb=b2 S=302⋅ 533,27=35,55 vc=c2 S=602⋅ 533,27=17,78
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 30⋅ 60302+602−402)=36°20′10" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 40⋅ 60402+602−302)=26°23′4" γ=180°−α−β=180°−36°20′10"−26°23′4"=117°16′47"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=65533,27=8,2
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 8,204⋅ 6540⋅ 30⋅ 60=33,75
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 302+2⋅ 602−402=43,012 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 602+2⋅ 402−302=48,734 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 402+2⋅ 302−602=18,708
Vypočítať ďaľší trojuholník