Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 40
b = 45,83
c = 50

Obsah trojuholníka: S = 866,08215293881
Obvod trojuholníka: o = 135,83
Semiperimeter (poloobvod): s = 67,915

Uhol ∠ A = α = 49,10547674673° = 49°6'17″ = 0,85770398707 rad
Uhol ∠ B = β = 60,00664321458° = 60°23″ = 1,04773098133 rad
Uhol ∠ C = γ = 70,88988003869° = 70°53'20″ = 1,23772429695 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 43,30440764694
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 37,79553973113
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 34,64332611755

Ťažnica: t_a = 43,59112198728
Ťažnica: t_b = 39,05500035211
Ťažnica: t_c = 35,00327777469

Polomer vpísanej kružnice: r = 12,75224336213
Polomer opísanej kružnice: R = 26,45882481238

Súradnice vrcholov: A[50; 0] B[0; 0] C[19,9966111; 34,64332611755]
Ťažisko: T[23,3322037; 11,54877537252]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[25; 8,66224992803]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[22,085; 12,75224336213]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 130,89552325327° = 130°53'43″ = 0,85770398707 rad
∠ B' = β' = 119,99435678542° = 119°59'37″ = 1,04773098133 rad
∠ C' = γ' = 109,11111996131° = 109°6'40″ = 1,23772429695 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 40 b = 45, 83 c = 50

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 40 + 45, 83 + 50 = 135, 83

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 3 5 , 8 3}{2} = 67, 92

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 67, 92 (67, 92 - 40) (67, 92 - 45, 83) (67, 92 - 50) S = 750097, 22 = 866, 08

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 6 6 , 0 8}{4 0} = 43, 3 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 6 6 , 0 8}{4 5 , 8 3} = 37, 8 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 6 6 , 0 8}{5 0} = 34, 64

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{4 5 , 8 3 ^{2} + 5 0 ^{2} - 4 0 ^{2}}{2 \cdot 4 5 , 8 3 \cdot 5 0}) = 49 ° 6^{'} 17 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 0 ^{2} + 5 0 ^{2} - 4 5 , 8 3 ^{2}}{2 \cdot 4 0 \cdot 5 0}) = 60 ° 23 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 49 ° 6^{'} 17 " - 60 ° 23 " = 70 ° 5 3^{'} 20 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 6 6 , 0 8}{6 7 , 9 2} = 12, 75

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 0 \cdot 4 5 , 8 3 \cdot 5 0}{4 \cdot 1 2 , 7 5 2 \cdot 6 7 , 9 1 5} = 26, 46

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 5 , 8 3 ^{2} + 2 \cdot 5 0 ^{2} - 4 0 ^{2}}{2} = 43, 591 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 0 ^{2} + 2 \cdot 4 0 ^{2} - 4 5 , 8 3 ^{2}}{2} = 39, 05 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 0 ^{2} + 2 \cdot 4 5 , 8 3 ^{2} - 5 0 ^{2}}{2} = 35, 003

Vypočítať ďaľší trojuholník