Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 40
b = 48
c = 32

Obsah trojuholníka: S = 634,98803146555
Obvod trojuholníka: o = 120
Semiperimeter (poloobvod): s = 60

Uhol ∠ A = α = 55,77111336722° = 55°46'16″ = 0,97333899101 rad
Uhol ∠ B = β = 82,81992442185° = 82°49'9″ = 1,44554684956 rad
Uhol ∠ C = γ = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 31,74990157328
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 26,45875131106
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 39,6866269666

Ťažnica: t_a = 35,55327776693
Ťažnica: t_b = 27,12993199325
Ťažnica: t_c = 41,18325205639

Polomer vpísanej kružnice: r = 10,58330052443
Polomer opísanej kružnice: R = 24,19897262726

Súradnice vrcholov: A[32; 0] B[0; 0] C[5; 39,6866269666]
Ťažisko: T[12,33333333333; 13,22987565553]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[16; 18,14222947044]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[12; 10,58330052443]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 124,22988663278° = 124°13'44″ = 0,97333899101 rad
∠ B' = β' = 97,18107557815° = 97°10'51″ = 1,44554684956 rad
∠ C' = γ' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 0,72327342478 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 40 b = 48 c = 32

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 40 + 48 + 32 = 120

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 2 0}{2} = 60

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 60 (60 - 40) (60 - 48) (60 - 32) S = 403200 = 634, 98

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 3 4 , 9 8}{4 0} = 31, 75 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 3 4 , 9 8}{4 8} = 26, 46 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 3 4 , 9 8}{3 2} = 39, 69

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{4 8 ^{2} + 3 2 ^{2} - 4 0 ^{2}}{2 \cdot 4 8 \cdot 3 2}) = 55 ° 4 6^{'} 16 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 0 ^{2} + 3 2 ^{2} - 4 8 ^{2}}{2 \cdot 4 0 \cdot 3 2}) = 82 ° 4 9^{'} 9 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 55 ° 4 6^{'} 16 " - 82 ° 4 9^{'} 9 " = 41 ° 2 4^{'} 35 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 3 4 , 9 8}{6 0} = 10, 58

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 0 \cdot 4 8 \cdot 3 2}{4 \cdot 1 0 , 5 8 3 \cdot 6 0} = 24, 19

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 8 ^{2} + 2 \cdot 3 2 ^{2} - 4 0 ^{2}}{2} = 35, 553 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 2 ^{2} + 2 \cdot 4 0 ^{2} - 4 8 ^{2}}{2} = 27, 129 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 0 ^{2} + 2 \cdot 4 8 ^{2} - 3 2 ^{2}}{2} = 41, 183

Vypočítať ďaľší trojuholník