Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 40
b = 57
c = 59

Obsah trojuholníka: S = 1087,49106896153
Obvod trojuholníka: o = 156
Semiperimeter (poloobvod): s = 78

Uhol ∠ A = α = 40,29661433308° = 40°17'46″ = 0,7033300377 rad
Uhol ∠ B = β = 67,16114597929° = 67°9'41″ = 1,17221886038 rad
Uhol ∠ C = γ = 72,54223968763° = 72°32'33″ = 1,26661036728 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 54,37545344808
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 38,15875680567
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 36,86440911734

Ťažnica: t_a = 54,45218135602
Ťažnica: t_b = 41,57222263056
Ťažnica: t_c = 39,42439774756

Polomer vpísanej kružnice: r = 13,94221883284
Polomer opísanej kružnice: R = 30,92444026833

Súradnice vrcholov: A[59; 0] B[0; 0] C[15,52554237288; 36,86440911734]
Ťažisko: T[24,84218079096; 12,28880303911]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[29,5; 9,2777320805]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[21; 13,94221883284]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 139,70438566692° = 139°42'14″ = 0,7033300377 rad
∠ B' = β' = 112,83985402071° = 112°50'19″ = 1,17221886038 rad
∠ C' = γ' = 107,45876031237° = 107°27'27″ = 1,26661036728 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 40 b = 57 c = 59

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 40 + 57 + 59 = 156

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 5 6}{2} = 78

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 78 (78 - 40) (78 - 57) (78 - 59) S = 1182636 = 1087, 49

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 8 7 , 4 9}{4 0} = 54, 37 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 8 7 , 4 9}{5 7} = 38, 16 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 8 7 , 4 9}{5 9} = 36, 86

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 7 ^{2} + 5 9 ^{2} - 4 0 ^{2}}{2 \cdot 5 7 \cdot 5 9}) = 40 ° 1 7^{'} 46 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 0 ^{2} + 5 9 ^{2} - 5 7 ^{2}}{2 \cdot 4 0 \cdot 5 9}) = 67 ° 9^{'} 41 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 40 ° 1 7^{'} 46 " - 67 ° 9^{'} 41 " = 72 ° 3 2^{'} 33 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 8 7 , 4 9}{7 8} = 13, 94

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 0 \cdot 5 7 \cdot 5 9}{4 \cdot 1 3 , 9 4 2 \cdot 7 8} = 30, 92

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 7 ^{2} + 2 \cdot 5 9 ^{2} - 4 0 ^{2}}{2} = 54, 452 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 9 ^{2} + 2 \cdot 4 0 ^{2} - 5 7 ^{2}}{2} = 41, 572 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 0 ^{2} + 2 \cdot 5 7 ^{2} - 5 9 ^{2}}{2} = 39, 424

Vypočítať ďaľší trojuholník