Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Rovnostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 43,06
b = 43,06
c = 43,06
Obsah trojuholníka: S = 802,87663901862
Obvod trojuholníka: o = 129,18
Semiperimeter (poloobvod): s = 64,59
Uhol ∠ A = α = 60° = 1,04771975512 rad
Uhol ∠ B = β = 60° = 1,04771975512 rad
Uhol ∠ C = γ = 60° = 1,04771975512 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 37,2911053887
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 37,2911053887
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 37,2911053887
Ťažnica: ta = 37,2911053887
Ťažnica: tb = 37,2911053887
Ťažnica: tc = 37,2911053887
Polomer vpísanej kružnice: r = 12,43303512957
Polomer opísanej kružnice: R = 24,86107025913
Súradnice vrcholov: A[43,06; 0] B[0; 0] C[21,53; 37,2911053887]
Ťažisko: T[21,53; 12,43303512957]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[21,53; 12,43303512957]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[21,53; 12,43303512957]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ B' = β' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ C' = γ' = 120° = 1,04771975512 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=43,06 b=43,06 c=43,06
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=43,06+43,06+43,06=129,18
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=2129,18=64,59
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=64,59(64,59−43,06)(64,59−43,06)(64,59−43,06) S=644610,5=802,88
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=43,062⋅ 802,88=37,29 vb=b2 S=43,062⋅ 802,88=37,29 vc=c2 S=43,062⋅ 802,88=37,29
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 43,06⋅ 43,0643,062+43,062−43,062)=60° b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 43,06⋅ 43,0643,062+43,062−43,062)=60° γ=180°−α−β=180°−60°−60°=60°
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=64,59802,88=12,43
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 12,43⋅ 64,5943,06⋅ 43,06⋅ 43,06=24,86
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 43,062+2⋅ 43,062−43,062=37,291 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 43,062+2⋅ 43,062−43,062=37,291 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 43,062+2⋅ 43,062−43,062=37,291
Vypočítať ďaľší trojuholník