Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 44
b = 123
c = 130,63

Obsah trojuholníka: S = 27065,9999925516
Obvod trojuholníka: o = 297,63
Semiperimeter (poloobvod): s = 148,815

Uhol ∠ A = α = 19,68438097925° = 19°41'2″ = 0,34435472902 rad
Uhol ∠ B = β = 70,32204413383° = 70°19'14″ = 1,22773232328 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,99657488691° = 89°59'45″ = 1,57107221306 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 1232,9999996614
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 443,9999998789
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 41,43299929963

Ťažnica: t_a = 124,9550383953
Ťažnica: t_b = 75,61664562116
Ťažnica: t_c = 65,3188073877

Polomer vpísanej kružnice: r = 18,18436507916
Polomer opísanej kružnice: R = 65,31550001798

Súradnice vrcholov: A[130,63; 0] B[0; 0] C[14,8177411391; 41,43299929963]
Ťažisko: T[48,48224704637; 13,81099976654]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[65,315; 0,00548461268]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[25,815; 18,18436507916]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 160,31661902075° = 160°18'58″ = 0,34435472902 rad
∠ B' = β' = 109,68795586617° = 109°40'46″ = 1,22773232328 rad
∠ C' = γ' = 90,00442511309° = 90°15″ = 1,57107221306 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 44 b = 123 c = 130, 63

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 44 + 123 + 130, 63 = 297, 63

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 9 7 , 6 3}{2} = 148, 82

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 148, 82 (148, 82 - 44) (148, 82 - 123) (148, 82 - 130, 63) S = 7322435, 96 = 2706

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 7 0 6}{4 4} = 123 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 7 0 6}{1 2 3} = 44 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 7 0 6}{1 3 0 , 6 3} = 41, 43

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 3 ^{2} + 1 3 0 , 6 3 ^{2} - 4 4 ^{2}}{2 \cdot 1 2 3 \cdot 1 3 0 , 6 3}) = 19 ° 4 1^{'} 2 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 4 ^{2} + 1 3 0 , 6 3 ^{2} - 1 2 3 ^{2}}{2 \cdot 4 4 \cdot 1 3 0 , 6 3}) = 70 ° 1 9^{'} 14 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 19 ° 4 1^{'} 2 " - 70 ° 1 9^{'} 14 " = 89 ° 5 9^{'} 45 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 7 0 6}{1 4 8 , 8 2} = 18, 18

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 4 \cdot 1 2 3 \cdot 1 3 0 , 6 3}{4 \cdot 1 8 , 1 8 4 \cdot 1 4 8 , 8 1 5} = 65, 32

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 3 ^{2} + 2 \cdot 1 3 0 , 6 3 ^{2} - 4 4 ^{2}}{2} = 124, 95 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 0 , 6 3 ^{2} + 2 \cdot 4 4 ^{2} - 1 2 3 ^{2}}{2} = 75, 616 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 4 ^{2} + 2 \cdot 1 2 3 ^{2} - 1 3 0 , 6 3 ^{2}}{2} = 65, 318

Vypočítať ďaľší trojuholník