Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 44
b = 44
c = 29

Obsah trojuholníka: S = 602,36111354495
Obvod trojuholníka: o = 117
Semiperimeter (poloobvod): s = 58,5

Uhol ∠ A = α = 70,75988112369° = 70°45'32″ = 1,23549742309 rad
Uhol ∠ B = β = 70,75988112369° = 70°45'32″ = 1,23549742309 rad
Uhol ∠ C = γ = 38,48223775263° = 38°28'57″ = 0,67216441918 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 27,38800516113
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 27,38800516113
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 41,54221472724

Ťažnica: t_a = 30,07549064836
Ťažnica: t_b = 30,07549064836
Ťažnica: t_c = 41,54221472724

Polomer vpísanej kružnice: r = 10,29767715461
Polomer opísanej kružnice: R = 23,30216361348

Súradnice vrcholov: A[29; 0] B[0; 0] C[14,5; 41,54221472724]
Ťažisko: T[14,5; 13,84773824241]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14,5; 18,24105111376]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[14,5; 10,29767715461]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 109,24111887631° = 109°14'28″ = 1,23549742309 rad
∠ B' = β' = 109,24111887631° = 109°14'28″ = 1,23549742309 rad
∠ C' = γ' = 141,51876224738° = 141°31'3″ = 0,67216441918 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 44 b = 44 c = 29

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 44 + 44 + 29 = 117

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 1 7}{2} = 58, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 58, 5 (58, 5 - 44) (58, 5 - 44) (58, 5 - 29) S = 362838, 94 = 602, 36

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 0 2 , 3 6}{4 4} = 27, 38 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 0 2 , 3 6}{4 4} = 27, 38 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 0 2 , 3 6}{2 9} = 41, 54

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{4 4 ^{2} + 2 9 ^{2} - 4 4 ^{2}}{2 \cdot 4 4 \cdot 2 9}) = 70 ° 4 5^{'} 32 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 4 ^{2} + 2 9 ^{2} - 4 4 ^{2}}{2 \cdot 4 4 \cdot 2 9}) = 70 ° 4 5^{'} 32 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 70 ° 4 5^{'} 32 " - 70 ° 4 5^{'} 32 " = 38 ° 2 8^{'} 57 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 0 2 , 3 6}{5 8 , 5} = 10, 3

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 4 \cdot 4 4 \cdot 2 9}{4 \cdot 1 0 , 2 9 7 \cdot 5 8 , 5} = 23, 3

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 4 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 4 4 ^{2}}{2} = 30, 075 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 4 4 ^{2} - 4 4 ^{2}}{2} = 30, 075 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 4 ^{2} + 2 \cdot 4 4 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 41, 542

Vypočítať ďaľší trojuholník