Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 5
b = 12,09
c = 8

Obsah trojuholníka: S = 13,99106404928
Obvod trojuholníka: o = 25,09
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,545

Uhol ∠ A = α = 16,81661671688° = 16°48'58″ = 0,29334974847 rad
Uhol ∠ B = β = 135,61105296795° = 135°36'38″ = 2,36768502433 rad
Uhol ∠ C = γ = 27,57333031517° = 27°34'24″ = 0,48112449256 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 5,59662561971
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 2,31444153007
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 3,49876601232

Ťažnica: t_a = 9,94215315721
Ťažnica: t_b = 2,8210988302
Ťažnica: t_c = 8,34217054611

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,11552363884
Polomer opísanej kružnice: R = 8,64114914358

Súradnice vrcholov: A[8; 0] B[0; 0] C[-3,573300625; 3,49876601232]
Ťažisko: T[1,47656645833; 1,16658867077]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4; 7,66599852634]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[0,455; 1,11552363884]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 163,18438328312° = 163°11'2″ = 0,29334974847 rad
∠ B' = β' = 44,38994703205° = 44°23'22″ = 2,36768502433 rad
∠ C' = γ' = 152,42766968483° = 152°25'36″ = 0,48112449256 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 5 b = 12, 09 c = 8

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 5 + 12, 09 + 8 = 25, 09

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 5 , 0 9}{2} = 12, 55

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 12, 55 (12, 55 - 5) (12, 55 - 12, 09) (12, 55 - 8) S = 195, 74 = 13, 99

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 , 9 9}{5} = 5, 6 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 , 9 9}{1 2 , 0 9} = 2, 31 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 , 9 9}{8} = 3, 5

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 , 0 9 ^{2} + 8 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 1 2 , 0 9 \cdot 8}) = 16 ° 4 8^{'} 58 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 8 ^{2} - 1 2 , 0 9 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 8}) = 135 ° 3 6^{'} 38 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 16 ° 4 8^{'} 58 " - 135 ° 3 6^{'} 38 " = 27 ° 3 4^{'} 24 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 , 9 9}{1 2 , 5 5} = 1, 12

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 1 2 , 0 9 \cdot 8}{4 \cdot 1 , 1 1 5 \cdot 1 2 , 5 4 5} = 8, 64

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 , 0 9 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 9, 942 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 1 2 , 0 9 ^{2}}{2} = 2, 821 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 2 , 0 9 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 8, 342

Vypočítať ďaľší trojuholník