Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 5
b = 6,24
c = 8

Obsah trojuholníka: S = 15.65999922
Obvod trojuholníka: o = 19,24
Semiperimeter (poloobvod): s = 9,62

Uhol ∠ A = α = 38,68221645168° = 38°40'56″ = 0,67551311326 rad
Uhol ∠ B = β = 51,26105396941° = 51°15'38″ = 0,8954665194 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,05772957891° = 90°3'26″ = 1,5721796327 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 6,243999688
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 54,9999975
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 3.989999805

Ťažnica: t_a = 6,72444925459
Ťažnica: t_b = 5,89662360875
Ťažnica: t_c = 3,99660980969

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,62216208108
Polomer opísanej kružnice: R = 44,000002

Súradnice vrcholov: A[8; 0] B[0; 0] C[3,12989; 3.989999805]
Ťažisko: T[3,71096333333; 1.329999935]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4; -0,0044000002]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,38; 1,62216208108]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 141,31878354832° = 141°19'4″ = 0,67551311326 rad
∠ B' = β' = 128,73994603059° = 128°44'22″ = 0,8954665194 rad
∠ C' = γ' = 89,94327042109° = 89°56'34″ = 1,5721796327 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 5 b = 6, 24 c = 8

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 5 + 6, 24 + 8 = 19, 24

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 9 , 2 4}{2} = 9, 62

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 9, 62 (9, 62 - 5) (9, 62 - 6, 24) (9, 62 - 8) S = 243, 36 = 15, 6

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 5 , 6}{5} = 6, 24 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 5 , 6}{6 , 2 4} = 5 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 5 , 6}{8} = 3, 9

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 , 2 4 ^{2} + 8 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 6 , 2 4 \cdot 8}) = 38 ° 4 0^{'} 56 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 8 ^{2} - 6 , 2 4 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 8}) = 51 ° 1 5^{'} 38 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 38 ° 4 0^{'} 56 " - 51 ° 1 5^{'} 38 " = 90 ° 3^{'} 26 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 5 , 6}{9 , 6 2} = 1, 62

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 6 , 2 4 \cdot 8}{4 \cdot 1 , 6 2 2 \cdot 9 , 6 2} = 4

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 , 2 4 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 6, 724 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 6 , 2 4 ^{2}}{2} = 5, 896 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 6 , 2 4 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 3, 996

Vypočítať ďaľší trojuholník