Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 5,2
b = 3,6
c = 2,1

Obsah trojuholníka: S = 2,90658722873
Obvod trojuholníka: o = 10,9
Semiperimeter (poloobvod): s = 5,45

Uhol ∠ A = α = 129,75882920298° = 129°45'30″ = 2,26547094277 rad
Uhol ∠ B = β = 32,15549680836° = 32°9'18″ = 0,56112100639 rad
Uhol ∠ C = γ = 18,08767398866° = 18°5'12″ = 0,3165673162 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 1,11876431874
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 1,61443734929
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 2,76774974165

Ťažnica: t_a = 1,38774436926
Ťažnica: t_b = 3,53334119488
Ťažnica: t_c = 4,3477125487

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,53331875756
Polomer opísanej kružnice: R = 3,38221169784

Súradnice vrcholov: A[2,1; 0] B[0; 0] C[4,40223809524; 2,76774974165]
Ťažisko: T[2,16774603175; 0,92224991388]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1,05; 3,21549984846]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,85; 0,53331875756]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 50,24217079702° = 50°14'30″ = 2,26547094277 rad
∠ B' = β' = 147,84550319164° = 147°50'42″ = 0,56112100639 rad
∠ C' = γ' = 161,91332601134° = 161°54'48″ = 0,3165673162 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 5, 2 b = 3, 6 c = 2, 1

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 5, 2 + 3, 6 + 2, 1 = 10, 9

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 0 , 9}{2} = 5, 45

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 5, 45 (5, 45 - 5, 2) (5, 45 - 3, 6) (5, 45 - 2, 1) S = 8, 44 = 2, 91

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 , 9 1}{5 , 2} = 1, 12 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 , 9 1}{3 , 6} = 1, 61 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 , 9 1}{2 , 1} = 2, 77

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 , 6 ^{2} + 2 , 1 ^{2} - 5 , 2 ^{2}}{2 \cdot 3 , 6 \cdot 2 , 1}) = 129 ° 4 5^{'} 30 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 , 2 ^{2} + 2 , 1 ^{2} - 3 , 6 ^{2}}{2 \cdot 5 , 2 \cdot 2 , 1}) = 32 ° 9^{'} 18 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 129 ° 4 5^{'} 30 " - 32 ° 9^{'} 18 " = 18 ° 5^{'} 12 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 , 9 1}{5 , 4 5} = 0, 53

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 , 2 \cdot 3 , 6 \cdot 2 , 1}{4 \cdot 0 , 5 3 3 \cdot 5 , 4 5} = 3, 38

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 , 6 ^{2} + 2 \cdot 2 , 1 ^{2} - 5 , 2 ^{2}}{2} = 1, 387 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 , 1 ^{2} + 2 \cdot 5 , 2 ^{2} - 3 , 6 ^{2}}{2} = 3, 533 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 , 2 ^{2} + 2 \cdot 3 , 6 ^{2} - 2 , 1 ^{2}}{2} = 4, 347

Vypočítať ďaľší trojuholník