Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 5,29
b = 1,1
c = 5,4

Obsah trojuholníka: S = 2,90994875106
Obvod trojuholníka: o = 11,79
Semiperimeter (poloobvod): s = 5,895

Uhol ∠ A = α = 78,41443056804° = 78°24'52″ = 1,36985878148 rad
Uhol ∠ B = β = 11,75435744431° = 11°45'13″ = 0,20551385729 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,83221198765° = 89°49'56″ = 1,56878662659 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 1.10999952781
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 5,2989977292
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 1,07875879669

Ťažnica: t_a = 2,86216385167
Ťažnica: t_b = 5,31769116976
Ťažnica: t_c = 2,70331555634

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,49435517406
Polomer opísanej kružnice: R = 2.77000115901

Súradnice vrcholov: A[5,4; 0] B[0; 0] C[5,17990833333; 1,07875879669]
Ťažisko: T[3,52663611111; 0,3599195989]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[2,7; 0,00879111871]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,795; 0,49435517406]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 101,58656943196° = 101°35'8″ = 1,36985878148 rad
∠ B' = β' = 168,24664255569° = 168°14'47″ = 0,20551385729 rad
∠ C' = γ' = 90,16878801235° = 90°10'4″ = 1,56878662659 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 5, 29 b = 1, 1 c = 5, 4

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 5, 29 + 1, 1 + 5, 4 = 11, 79

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 1 , 7 9}{2} = 5, 9

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 5, 9 (5, 9 - 5, 29) (5, 9 - 1, 1) (5, 9 - 5, 4) S = 8, 47 = 2, 91

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 , 9 1}{5 , 2 9} = 1, 1 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 , 9 1}{1 , 1} = 5, 29 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 , 9 1}{5 , 4} = 1, 08

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 , 1 ^{2} + 5 , 4 ^{2} - 5 , 2 9 ^{2}}{2 \cdot 1 , 1 \cdot 5 , 4}) = 78 ° 2 4^{'} 52 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 , 2 9 ^{2} + 5 , 4 ^{2} - 1 , 1 ^{2}}{2 \cdot 5 , 2 9 \cdot 5 , 4}) = 11 ° 4 5^{'} 13 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 78 ° 2 4^{'} 52 " - 11 ° 4 5^{'} 13 " = 89 ° 4 9^{'} 56 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 , 9 1}{5 , 9} = 0, 49

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 , 2 9 \cdot 1 , 1 \cdot 5 , 4}{4 \cdot 0 , 4 9 4 \cdot 5 , 8 9 5} = 2, 7

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 , 1 ^{2} + 2 \cdot 5 , 4 ^{2} - 5 , 2 9 ^{2}}{2} = 2, 862 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 , 4 ^{2} + 2 \cdot 5 , 2 9 ^{2} - 1 , 1 ^{2}}{2} = 5, 317 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 , 2 9 ^{2} + 2 \cdot 1 , 1 ^{2} - 5 , 4 ^{2}}{2} = 2, 703

Vypočítať ďaľší trojuholník