Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 5,4
b = 6
c = 6,6
Obsah trojuholníka: S = 15,27435064736
Obvod trojuholníka: o = 18
Semiperimeter (poloobvod): s = 9
Uhol ∠ A = α = 50,47988036414° = 50°28'44″ = 0,8811021326 rad
Uhol ∠ B = β = 58,99224169931° = 58°59'33″ = 1,03296119102 rad
Uhol ∠ C = γ = 70,52987793655° = 70°31'44″ = 1,23109594173 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 5,65768542495
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 5,09111688245
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 4,6288335295
Ťažnica: ta = 5,7
Ťažnica: tb = 5,23106787322
Ťažnica: tc = 4,65772524089
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,69770562748
Polomer opísanej kružnice: R = 3.55001785669
Súradnice vrcholov: A[6,6; 0] B[0; 0] C[2,78218181818; 4,6288335295]
Ťažisko: T[3,12772727273; 1,54327784317]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,3; 1,1676726189]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3; 1,69770562748]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 129,52111963586° = 129°31'16″ = 0,8811021326 rad
∠ B' = β' = 121,00875830069° = 121°27″ = 1,03296119102 rad
∠ C' = γ' = 109,47112206345° = 109°28'16″ = 1,23109594173 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5,4 b=6 c=6,6
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5,4+6+6,6=18
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=218=9
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=9(9−5,4)(9−6)(9−6,6) S=233,28=15,27
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=5,42⋅ 15,27=5,66 vb=b2 S=62⋅ 15,27=5,09 vc=c2 S=6,62⋅ 15,27=4,63
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 6⋅ 6,662+6,62−5,42)=50°28′44" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5,4⋅ 6,65,42+6,62−62)=58°59′33" γ=180°−α−β=180°−50°28′44"−58°59′33"=70°31′44"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=915,27=1,7
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,697⋅ 95,4⋅ 6⋅ 6,6=3,5
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 62+2⋅ 6,62−5,42=5,7 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 6,62+2⋅ 5,42−62=5,231 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 5,42+2⋅ 62−6,62=4,657
Vypočítať ďaľší trojuholník