Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 5,5
b = 5,5
c = 7
Obsah trojuholníka: S = 14,84992424049
Obvod trojuholníka: o = 18
Semiperimeter (poloobvod): s = 9
Uhol ∠ A = α = 50,47988036414° = 50°28'44″ = 0,8811021326 rad
Uhol ∠ B = β = 50,47988036414° = 50°28'44″ = 0,8811021326 rad
Uhol ∠ C = γ = 79,04223927173° = 79°2'33″ = 1,38795500016 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 5.43997245109
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 5.43997245109
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 4,24326406871
Ťažnica: ta = 5,66223758265
Ťažnica: tb = 5,66223758265
Ťažnica: tc = 4,24326406871
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,65499158228
Polomer opísanej kružnice: R = 3,56549966885
Súradnice vrcholov: A[7; 0] B[0; 0] C[3,5; 4,24326406871]
Ťažisko: T[3,5; 1,41442135624]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,5; 0,67876439986]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 1,65499158228]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 129,52111963586° = 129°31'16″ = 0,8811021326 rad
∠ B' = β' = 129,52111963586° = 129°31'16″ = 0,8811021326 rad
∠ C' = γ' = 100,95876072827° = 100°57'27″ = 1,38795500016 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5,5 b=5,5 c=7
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5,5+5,5+7=18
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=218=9
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=9(9−5,5)(9−5,5)(9−7) S=220,5=14,85
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=5,52⋅ 14,85=5,4 vb=b2 S=5,52⋅ 14,85=5,4 vc=c2 S=72⋅ 14,85=4,24
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 5,5⋅ 75,52+72−5,52)=50°28′44" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5,5⋅ 75,52+72−5,52)=50°28′44" γ=180°−α−β=180°−50°28′44"−50°28′44"=79°2′33"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=914,85=1,65
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,65⋅ 95,5⋅ 5,5⋅ 7=3,56
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 5,52+2⋅ 72−5,52=5,662 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 72+2⋅ 5,52−5,52=5,662 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 5,52+2⋅ 5,52−72=4,243
Vypočítať ďaľší trojuholník