Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 5,66
b = 4,9
c = 2,83

Obsah trojuholníka: S = 6,9333498743
Obvod trojuholníka: o = 13,39
Semiperimeter (poloobvod): s = 6,695

Uhol ∠ A = α = 90,03545005977° = 90°2'4″ = 1,57113984758 rad
Uhol ∠ B = β = 59,96655053994° = 59°57'56″ = 1,04765955068 rad
Uhol ∠ C = γ = 309,9999940029° = 30° = 0,52435986709 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 2,45499995558
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 2,83299994869
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 4.98999991117

Ťažnica: t_a = 2,82985243503
Ťažnica: t_b = 3,74442956614
Ťažnica: t_c = 5,10110366593

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,0365623412
Polomer opísanej kružnice: R = 2,83300005131

Súradnice vrcholov: A[2,83; 0] B[0; 0] C[2,833295053; 4.98999991117]
Ťažisko: T[1,88876501767; 1,63333330372]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1,415; 2,45108524851]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,795; 1,0365623412]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 89,96554994023° = 89°57'56″ = 1,57113984758 rad
∠ B' = β' = 120,03444946006° = 120°2'4″ = 1,04765955068 rad
∠ C' = γ' = 1500,0000059971° = 150° = 0,52435986709 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 5, 66 b = 4, 9 c = 2, 83

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 3 , 3 9}{2} = 6, 7

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 , 9 3}{5 , 6 6} = 2, 45 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 , 9 3}{4 , 9} = 2, 83 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 , 9 3}{2 , 8 3} = 4, 9

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{4 , 9 ^{2} + 2 , 8 3 ^{2} - 5 , 6 6 ^{2}}{2 \cdot 4 , 9 \cdot 2 , 8 3}) = 90 ° 2^{'} 4 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 , 6 6 ^{2} + 2 , 8 3 ^{2} - 4 , 9 ^{2}}{2 \cdot 5 , 6 6 \cdot 2 , 8 3}) = 59 ° 5 7^{'} 56 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 90 ° 2^{'} 4 " - 59 ° 5 7^{'} 56 " = 30 °

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 , 6 6 \cdot 4 , 9 \cdot 2 , 8 3}{4 \cdot 1 , 0 3 6 \cdot 6 , 6 9 5} = 2, 83

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

Vypočítať ďaľší trojuholník