Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 50
b = 50
c = 70,71
Obsah trojuholníka: S = 12509,9999997701
Obvod trojuholníka: o = 170,71
Semiperimeter (poloobvod): s = 85,355
Uhol ∠ A = α = 45,00105494665° = 45°2″ = 0,78554077534 rad
Uhol ∠ B = β = 45,00105494665° = 45°2″ = 0,78554077534 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,99989010669° = 89°59'56″ = 1,57107771468 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 509,9999999908
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 509,9999999908
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 35,35656781154
Ťažnica: ta = 55,9011270558
Ťažnica: tb = 55,9011270558
Ťažnica: tc = 35,35656781154
Polomer vpísanej kružnice: r = 14,64547191116
Polomer opísanej kružnice: R = 35,35550000065
Súradnice vrcholov: A[70,71; 0] B[0; 0] C[35,355; 35,35656781154]
Ťažisko: T[35,355; 11,78552260385]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[35,355; 0,00106781089]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[35,355; 14,64547191116]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 134,99994505335° = 134°59'58″ = 0,78554077534 rad
∠ B' = β' = 134,99994505335° = 134°59'58″ = 0,78554077534 rad
∠ C' = γ' = 90,00110989331° = 90°4″ = 1,57107771468 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=50 b=50 c=70,71
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=50+50+70,71=170,71
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=2170,71=85,36
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=85,36(85,36−50)(85,36−50)(85,36−70,71) S=1562500=1250
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=502⋅ 1250=50 vb=b2 S=502⋅ 1250=50 vc=c2 S=70,712⋅ 1250=35,36
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 50⋅ 70,71502+70,712−502)=45°2" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 50⋅ 70,71502+70,712−502)=45°2" γ=180°−α−β=180°−45°2"−45°2"=89°59′56"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=85,361250=14,64
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 14,645⋅ 85,35550⋅ 50⋅ 70,71=35,36
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 502+2⋅ 70,712−502=55,901 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 70,712+2⋅ 502−502=55,901 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 502+2⋅ 502−70,712=35,356
Vypočítať ďaľší trojuholník