Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 50,3
b = 50,3
c = 48,2
Obsah trojuholníka: S = 1064,03106935423
Obvod trojuholníka: o = 148,8
Semiperimeter (poloobvod): s = 74,4
Uhol ∠ A = α = 61,37217138094° = 61°22'18″ = 1,07111384736 rad
Uhol ∠ B = β = 61,37217138094° = 61°22'18″ = 1,07111384736 rad
Uhol ∠ C = γ = 57,25765723813° = 57°15'24″ = 0,99993157065 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 42,3077383441
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 42,3077383441
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 44,15106511843
Ťažnica: ta = 42,35773193203
Ťažnica: tb = 42,35773193203
Ťažnica: tc = 44,15106511843
Polomer vpísanej kružnice: r = 14,30114878164
Polomer opísanej kružnice: R = 28,65329182711
Súradnice vrcholov: A[48,2; 0] B[0; 0] C[24,1; 44,15106511843]
Ťažisko: T[24,1; 14,71768837281]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[24,1; 15,49877329132]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[24,1; 14,30114878164]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 118,62882861906° = 118°37'42″ = 1,07111384736 rad
∠ B' = β' = 118,62882861906° = 118°37'42″ = 1,07111384736 rad
∠ C' = γ' = 122,74334276188° = 122°44'36″ = 0,99993157065 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=50,3 b=50,3 c=48,2
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=50,3+50,3+48,2=148,8
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=2148,8=74,4
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=74,4(74,4−50,3)(74,4−50,3)(74,4−48,2) S=1132161,32=1064,03
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=50,32⋅ 1064,03=42,31 vb=b2 S=50,32⋅ 1064,03=42,31 vc=c2 S=48,22⋅ 1064,03=44,15
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 50,3⋅ 48,250,32+48,22−50,32)=61°22′18" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 50,3⋅ 48,250,32+48,22−50,32)=61°22′18" γ=180°−α−β=180°−61°22′18"−61°22′18"=57°15′24"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=74,41064,03=14,3
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 14,301⋅ 74,450,3⋅ 50,3⋅ 48,2=28,65
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 50,32+2⋅ 48,22−50,32=42,357 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 48,22+2⋅ 50,32−50,32=42,357 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 50,32+2⋅ 50,32−48,22=44,151
Vypočítať ďaľší trojuholník