Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 51
b = 56
c = 77

Obsah trojuholníka: S = 1427,19330493104
Obvod trojuholníka: o = 184
Semiperimeter (poloobvod): s = 92

Uhol ∠ A = α = 41,45497838314° = 41°26'59″ = 0,72334352021 rad
Uhol ∠ B = β = 46,624394476° = 46°37'26″ = 0,81437413463 rad
Uhol ∠ C = γ = 91,92662714086° = 91°55'35″ = 1,60444161052 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 55,96883548749
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 50,97111803325
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 37,07699493327

Ťažnica: t_a = 62,30877041785
Ťažnica: t_b = 59
Ťažnica: t_c = 37,23223783823

Polomer vpísanej kružnice: r = 15,51329679273
Polomer opísanej kružnice: R = 38,52217683246

Súradnice vrcholov: A[77; 0] B[0; 0] C[35,0265974026; 37,07699493327]
Ťažisko: T[37,3421991342; 12,35766497776]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[38,5; -1,29548493554]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[36; 15,51329679273]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 138,55502161686° = 138°33'1″ = 0,72334352021 rad
∠ B' = β' = 133,376605524° = 133°22'34″ = 0,81437413463 rad
∠ C' = γ' = 88,07437285914° = 88°4'25″ = 1,60444161052 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 51 b = 56 c = 77

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 51 + 56 + 77 = 184

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 8 4}{2} = 92

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 92 (92 - 51) (92 - 56) (92 - 77) S = 2036880 = 1427, 19

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 2 7 , 1 9}{5 1} = 55, 97 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 2 7 , 1 9}{5 6} = 50, 97 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 2 7 , 1 9}{7 7} = 37, 07

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 6 ^{2} + 7 7 ^{2} - 5 1 ^{2}}{2 \cdot 5 6 \cdot 7 7}) = 41 ° 2 6^{'} 59 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 1 ^{2} + 7 7 ^{2} - 5 6 ^{2}}{2 \cdot 5 1 \cdot 7 7}) = 46 ° 3 7^{'} 26 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 41 ° 2 6^{'} 59 " - 46 ° 3 7^{'} 26 " = 91 ° 5 5^{'} 35 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 2 7 , 1 9}{9 2} = 15, 51

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 1 \cdot 5 6 \cdot 7 7}{4 \cdot 1 5 , 5 1 3 \cdot 9 2} = 38, 52

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 6 ^{2} + 2 \cdot 7 7 ^{2} - 5 1 ^{2}}{2} = 62, 308 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 7 ^{2} + 2 \cdot 5 1 ^{2} - 5 6 ^{2}}{2} = 59 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 1 ^{2} + 2 \cdot 5 6 ^{2} - 7 7 ^{2}}{2} = 37, 232

Vypočítať ďaľší trojuholník