Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 55
b = 36
c = 28

Obsah trojuholníka: S = 445,19987617907
Obvod trojuholníka: o = 119
Semiperimeter (poloobvod): s = 59,5

Uhol ∠ A = α = 117,95331868834° = 117°57'11″ = 2,05986714743 rad
Uhol ∠ B = β = 35,32326498434° = 35°19'22″ = 0,61664965403 rad
Uhol ∠ C = γ = 26,72441632732° = 26°43'27″ = 0,4666424639 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 16,18990458833
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 24,73332645439
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 31.87999115565

Ťažnica: t_a = 16,84548805279
Ťažnica: t_b = 39,75655027638
Ťažnica: t_c = 44,32326804244

Polomer vpísanej kružnice: r = 7,48223321309
Polomer opísanej kružnice: R = 31,13221620578

Súradnice vrcholov: A[28; 0] B[0; 0] C[44,875; 31.87999115565]
Ťažisko: T[24,29216666667; 10.65999705188]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14; 27,80766811107]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[23,5; 7,48223321309]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 62,04768131166° = 62°2'49″ = 2,05986714743 rad
∠ B' = β' = 144,67773501566° = 144°40'38″ = 0,61664965403 rad
∠ C' = γ' = 153,27658367268° = 153°16'33″ = 0,4666424639 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 55 b = 36 c = 28

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 55 + 36 + 28 = 119

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 1 9}{2} = 59, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 59, 5 (59, 5 - 55) (59, 5 - 36) (59, 5 - 28) S = 198201, 94 = 445, 2

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 4 5 , 2}{5 5} = 16, 19 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 4 5 , 2}{3 6} = 24, 73 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 4 5 , 2}{2 8} = 31, 8

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 6 ^{2} + 2 8 ^{2} - 5 5 ^{2}}{2 \cdot 3 6 \cdot 2 8}) = 117 ° 5 7^{'} 11 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 5 ^{2} + 2 8 ^{2} - 3 6 ^{2}}{2 \cdot 5 5 \cdot 2 8}) = 35 ° 1 9^{'} 22 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 117 ° 5 7^{'} 11 " - 35 ° 1 9^{'} 22 " = 26 ° 4 3^{'} 27 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 4 5 , 2}{5 9 , 5} = 7, 48

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 5 \cdot 3 6 \cdot 2 8}{4 \cdot 7 , 4 8 2 \cdot 5 9 , 5} = 31, 13

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 6 ^{2} + 2 \cdot 2 8 ^{2} - 5 5 ^{2}}{2} = 16, 845 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 ^{2} + 2 \cdot 5 5 ^{2} - 3 6 ^{2}}{2} = 39, 756 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 5 ^{2} + 2 \cdot 3 6 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2} = 44, 323

Vypočítať ďaľší trojuholník