Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 55
b = 55
c = 30
Obsah trojuholníka: S = 793,72553933194
Obvod trojuholníka: o = 140
Semiperimeter (poloobvod): s = 70
Uhol ∠ A = α = 74,17333798681° = 74°10'24″ = 1,2954569696 rad
Uhol ∠ B = β = 74,17333798681° = 74°10'24″ = 1,2954569696 rad
Uhol ∠ C = γ = 31,65332402637° = 31°39'12″ = 0,55224532615 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 28,86327415753
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 28,86327415753
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 52,91550262213
Ťažnica: ta = 34,73111099736
Ťažnica: tb = 34,73111099736
Ťažnica: tc = 52,91550262213
Polomer vpísanej kružnice: r = 11,33989341903
Polomer opísanej kružnice: R = 28,58435632713
Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[15; 52,91550262213]
Ťažisko: T[15; 17,63883420738]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; 24,331146295]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[15; 11,33989341903]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 105,82766201319° = 105°49'36″ = 1,2954569696 rad
∠ B' = β' = 105,82766201319° = 105°49'36″ = 1,2954569696 rad
∠ C' = γ' = 148,34767597363° = 148°20'48″ = 0,55224532615 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=55 b=55 c=30
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=55+55+30=140
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=2140=70
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=70(70−55)(70−55)(70−30) S=630000=793,73
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=552⋅ 793,73=28,86 vb=b2 S=552⋅ 793,73=28,86 vc=c2 S=302⋅ 793,73=52,92
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 55⋅ 30552+302−552)=74°10′24" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 55⋅ 30552+302−552)=74°10′24" γ=180°−α−β=180°−74°10′24"−74°10′24"=31°39′12"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=70793,73=11,34
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 11,339⋅ 7055⋅ 55⋅ 30=28,58
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 552+2⋅ 302−552=34,731 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 552−552=34,731 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 552+2⋅ 552−302=52,915
Vypočítať ďaľší trojuholník