Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 6
b = 2
c = 6
Obsah trojuholníka: S = 5,91660797831
Obvod trojuholníka: o = 14
Semiperimeter (poloobvod): s = 7
Uhol ∠ A = α = 80,40659317731° = 80°24'21″ = 1,40333482476 rad
Uhol ∠ B = β = 19,18881364537° = 19°11'17″ = 0,33548961584 rad
Uhol ∠ C = γ = 80,40659317731° = 80°24'21″ = 1,40333482476 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 1,97220265944
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 5,91660797831
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 1,97220265944
Ťažnica: ta = 3,31766247904
Ťažnica: tb = 5,91660797831
Ťažnica: tc = 3,31766247904
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,84551542547
Polomer opísanej kružnice: R = 3,0432555317
Súradnice vrcholov: A[6; 0] B[0; 0] C[5,66766666667; 1,97220265944]
Ťažisko: T[3,88988888889; 0,65773421981]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3; 0,50770925528]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 0,84551542547]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 99,59440682269° = 99°35'39″ = 1,40333482476 rad
∠ B' = β' = 160,81218635463° = 160°48'43″ = 0,33548961584 rad
∠ C' = γ' = 99,59440682269° = 99°35'39″ = 1,40333482476 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=6 b=2 c=6
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=6+2+6=14
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=214=7
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=7(7−6)(7−2)(7−6) S=35=5,92
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 5,92=1,97 vb=b2 S=22⋅ 5,92=5,92 vc=c2 S=62⋅ 5,92=1,97
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 2⋅ 622+62−62)=80°24′21" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 662+62−22)=19°11′17" γ=180°−α−β=180°−80°24′21"−19°11′17"=80°24′21"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=75,92=0,85
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,845⋅ 76⋅ 2⋅ 6=3,04
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 22+2⋅ 62−62=3,317 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 62+2⋅ 62−22=5,916 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 22−62=3,317
Vypočítať ďaľší trojuholník