Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 6
b = 3
c = 4

Obsah trojuholníka: S = 5,33326822519
Obvod trojuholníka: o = 13
Semiperimeter (poloobvod): s = 6,5

Uhol ∠ A = α = 117,2879612736° = 117°16'47″ = 2,04769153877 rad
Uhol ∠ B = β = 26,38443297494° = 26°23'4″ = 0,46604934251 rad
Uhol ∠ C = γ = 36,33660575146° = 36°20'10″ = 0,63441838408 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 1,77875607506
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 3,55551215013
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 2,6666341126

Ťažnica: t_a = 1,87108286934
Ťažnica: t_b = 4,87333971724
Ťažnica: t_c = 4,30111626335

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,82204126541
Polomer opísanej kružnice: R = 3,37554120628

Súradnice vrcholov: A[4; 0] B[0; 0] C[5,375; 2,6666341126]
Ťažisko: T[3,125; 0,88987803753]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[2; 2,71990819394]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 0,82204126541]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 62,7220387264° = 62°43'13″ = 2,04769153877 rad
∠ B' = β' = 153,61656702506° = 153°36'56″ = 0,46604934251 rad
∠ C' = γ' = 143,66439424854° = 143°39'50″ = 0,63441838408 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 6 b = 3 c = 4

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 6 + 3 + 4 = 13

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 3}{2} = 6, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 6, 5 (6, 5 - 6) (6, 5 - 3) (6, 5 - 4) S = 28, 44 = 5, 33

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 , 3 3}{6} = 1, 78 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 , 3 3}{3} = 3, 56 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 , 3 3}{4} = 2, 67

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 4 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 4}) = 117 ° 1 6^{'} 47 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 4 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 4}) = 26 ° 2 3^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 117 ° 1 6^{'} 47 " - 26 ° 2 3^{'} 4 " = 36 ° 2 0^{'} 10 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 , 3 3}{6 , 5} = 0, 82

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 3 \cdot 4}{4 \cdot 0 , 8 2 \cdot 6 , 5} = 3, 38

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 1, 871 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 4, 873 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 4, 301

Vypočítať ďaľší trojuholník