Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 6
b = 5
c = 5
Obsah trojuholníka: S = 12
Obvod trojuholníka: o = 16
Semiperimeter (poloobvod): s = 8
Uhol ∠ A = α = 73,74397952917° = 73°44'23″ = 1,28770022176 rad
Uhol ∠ B = β = 53,13301023542° = 53°7'48″ = 0,9277295218 rad
Uhol ∠ C = γ = 53,13301023542° = 53°7'48″ = 0,9277295218 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 4
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 4,8
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 4,8
Ťažnica: ta = 4
Ťažnica: tb = 4,92444289009
Ťažnica: tc = 4,92444289009
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,5
Polomer opísanej kružnice: R = 3,125
Súradnice vrcholov: A[5; 0] B[0; 0] C[3,6; 4,8]
Ťažisko: T[2,86766666667; 1,6]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[2,5; 1,875]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3; 1,5]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 106,26602047083° = 106°15'37″ = 1,28770022176 rad
∠ B' = β' = 126,87698976458° = 126°52'12″ = 0,9277295218 rad
∠ C' = γ' = 126,87698976458° = 126°52'12″ = 0,9277295218 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=6 b=5 c=5
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=6+5+5=16
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=216=8
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=8(8−6)(8−5)(8−5) S=144=12
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 12=4 vb=b2 S=52⋅ 12=4,8 vc=c2 S=52⋅ 12=4,8
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 5⋅ 552+52−62)=73°44′23" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 562+52−52)=53°7′48" γ=180°−α−β=180°−73°44′23"−53°7′48"=53°7′48"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=812=1,5
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,5⋅ 86⋅ 5⋅ 5=3,13
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 52+2⋅ 52−62=4 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 52+2⋅ 62−52=4,924 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 52−52=4,924
Vypočítať ďaľší trojuholník