Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 6
b = 5
c = 9,85
Obsah trojuholníka: S = 11,99657791893
Obvod trojuholníka: o = 20,85
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,425
Uhol ∠ A = α = 29,15326593861° = 29°9'10″ = 0,5098809892 rad
Uhol ∠ B = β = 23,95105808477° = 23°57'2″ = 0,41880164936 rad
Uhol ∠ C = γ = 126,89767597662° = 126°53'48″ = 2,2154766268 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 3,99985930631
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 4,79883116757
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 2,4365691206
Ťažnica: ta = 7,21218825559
Ťažnica: tb = 7,76328119905
Ťažnica: tc = 2,49988747468
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,15106742628
Polomer opísanej kružnice: R = 6,15884161257
Súradnice vrcholov: A[9,85; 0] B[0; 0] C[5,48333756345; 2,4365691206]
Ťažisko: T[5,11111252115; 0,81218970687]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,925; -3,69773590815]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,425; 1,15106742628]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150,84773406139° = 150°50'50″ = 0,5098809892 rad
∠ B' = β' = 156,04994191523° = 156°2'58″ = 0,41880164936 rad
∠ C' = γ' = 53,10332402338° = 53°6'12″ = 2,2154766268 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=6 b=5 c=9,85
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=6+5+9,85=20,85
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=220,85=10,43
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 12=4 vb=b2 S=52⋅ 12=4,8 vc=c2 S=9,852⋅ 12=2,44
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 5⋅ 9,8552+9,852−62)=29°9′10" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 9,8562+9,852−52)=23°57′2" γ=180°−α−β=180°−29°9′10"−23°57′2"=126°53′48"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=10,4312=1,15
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,151⋅ 10,4256⋅ 5⋅ 9,85=6,16
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 52+2⋅ 9,852−62=7,212 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 9,852+2⋅ 62−52=7,763 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 52−9,852=2,499
Vypočítať ďaľší trojuholník