Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 6
b = 7
c = 5,48

Obsah trojuholníka: S = 15,87991196935
Obvod trojuholníka: o = 18,48
Semiperimeter (poloobvod): s = 9,24

Uhol ∠ A = α = 55,88436054122° = 55°53'1″ = 0,97553529123 rad
Uhol ∠ B = β = 74,99105650096° = 74°59'26″ = 1,30988322673 rad
Uhol ∠ C = γ = 49,12658295782° = 49°7'33″ = 0,85774074739 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 5,29330398978
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 4,5376891341
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 5,79552991582

Ťažnica: t_a = 5,52440564805
Ťažnica: t_b = 4,55768849009
Ťažnica: t_c = 5,9155437431

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,71985194473
Polomer opísanej kružnice: R = 3,62436265681

Súradnice vrcholov: A[5,48; 0] B[0; 0] C[1,55438686131; 5,79552991582]
Ťažisko: T[2,3454622871; 1,93217663861]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[2,74; 2,37113012262]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,24; 1,71985194473]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 124,11663945878° = 124°6'59″ = 0,97553529123 rad
∠ B' = β' = 105,00994349904° = 105°34″ = 1,30988322673 rad
∠ C' = γ' = 130,87441704218° = 130°52'27″ = 0,85774074739 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 6 b = 7 c = 5, 48

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 6 + 7 + 5, 48 = 18, 48

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 8 , 4 8}{2} = 9, 24

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 5 , 8 8}{6} = 5, 29 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 5 , 8 8}{7} = 4, 54 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 5 , 8 8}{5 , 4 8} = 5, 8

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 5 , 4 8 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 5 , 4 8}) = 55 ° 5 3^{'} 1 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 5 , 4 8 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 5 , 4 8}) = 74 ° 5 9^{'} 26 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 55 ° 5 3^{'} 1 " - 74 ° 5 9^{'} 26 " = 49 ° 7^{'} 33 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 5 , 8 8}{9 , 2 4} = 1, 72

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 5 , 4 8}{4 \cdot 1 , 7 1 9 \cdot 9 , 2 4} = 3, 62

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

Vypočítať ďaľší trojuholník