Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 6,55
b = 6,55
c = 7,7

Obsah trojuholníka: S = 20,40113676012
Obvod trojuholníka: o = 20,8
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,4

Uhol ∠ A = α = 543,9999286651° = 54° = 0,9422476551 rad
Uhol ∠ B = β = 543,9999286651° = 54° = 0,9422476551 rad
Uhol ∠ C = γ = 722,0001426699° = 72°1″ = 1,25766395515 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 6,22994252217
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 6,22994252217
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 5,29990565198

Ťažnica: t_a = 6,35437882401
Ťažnica: t_b = 6,35437882401
Ťažnica: t_c = 5,29990565198

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,96216699617
Polomer opísanej kružnice: R = 4,04881262881

Súradnice vrcholov: A[7,7; 0] B[0; 0] C[3,85; 5,29990565198]
Ťažisko: T[3,85; 1,76663521733]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,85; 1,25109302317]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,85; 1,96216699617]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 1266,0000713349° = 126° = 0,9422476551 rad
∠ B' = β' = 1266,0000713349° = 126° = 0,9422476551 rad
∠ C' = γ' = 1087,9998573301° = 107°59'59″ = 1,25766395515 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 6, 55 b = 6, 55 c = 7, 7

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 6, 55 + 6, 55 + 7, 7 = 20, 8

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 0 , 8}{2} = 10, 4

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 10, 4 (10, 4 - 6, 55) (10, 4 - 6, 55) (10, 4 - 7, 7) S = 416, 22 = 20, 4

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 0 , 4}{6 , 5 5} = 6, 23 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 0 , 4}{6 , 5 5} = 6, 23 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 0 , 4}{7 , 7} = 5, 3

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 0 , 4}{1 0 , 4} = 1, 96

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 , 5 5 \cdot 6 , 5 5 \cdot 7 , 7}{4 \cdot 1 , 9 6 2 \cdot 1 0 , 4} = 4, 05

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 , 5 5 ^{2} + 2 \cdot 7 , 7 ^{2} - 6 , 5 5 ^{2}}{2} = 6, 354 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 7 ^{2} + 2 \cdot 6 , 5 5 ^{2} - 6 , 5 5 ^{2}}{2} = 6, 354 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 , 5 5 ^{2} + 2 \cdot 6 , 5 5 ^{2} - 7 , 7 ^{2}}{2} = 5, 299

Vypočítať ďaľší trojuholník