Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 62,45
b = 62,45
c = 47,8

Obsah trojuholníka: S = 1378,92769610552
Obvod trojuholníka: o = 172,7
Semiperimeter (poloobvod): s = 86,35

Uhol ∠ A = α = 67,49985901985° = 67°29'55″ = 1,17880726394 rad
Uhol ∠ B = β = 67,49985901985° = 67°29'55″ = 1,17880726394 rad
Uhol ∠ C = γ = 45,00328196031° = 45°10″ = 0,78554473748 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 44,1610991547
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 44,1610991547
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 57,69656887471

Ťažnica: t_a = 46,01554389852
Ťažnica: t_b = 46,01554389852
Ťažnica: t_c = 57,69656887471

Polomer vpísanej kružnice: r = 15,9699044135
Polomer opísanej kružnice: R = 33,79880409342

Súradnice vrcholov: A[47,8; 0] B[0; 0] C[23,9; 57,69656887471]
Ťažisko: T[23,9; 19,2321896249]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[23,9; 23,89876478129]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[23,9; 15,9699044135]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 112,50114098015° = 112°30'5″ = 1,17880726394 rad
∠ B' = β' = 112,50114098015° = 112°30'5″ = 1,17880726394 rad
∠ C' = γ' = 134,9977180397° = 134°59'50″ = 0,78554473748 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 62, 45 b = 62, 45 c = 47, 8

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 62, 45 + 62, 45 + 47, 8 = 172, 7

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 7 2 , 7}{2} = 86, 35

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 86, 35 (86, 35 - 62, 45) (86, 35 - 62, 45) (86, 35 - 47, 8) S = 1901439, 56 = 1378, 93

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 7 8 , 9 3}{6 2 , 4 5} = 44, 16 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 7 8 , 9 3}{6 2 , 4 5} = 44, 16 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 7 8 , 9 3}{4 7 , 8} = 57, 7

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 2 , 4 5 ^{2} + 4 7 , 8 ^{2} - 6 2 , 4 5 ^{2}}{2 \cdot 6 2 , 4 5 \cdot 4 7 , 8}) = 67 ° 2 9^{'} 55 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 2 , 4 5 ^{2} + 4 7 , 8 ^{2} - 6 2 , 4 5 ^{2}}{2 \cdot 6 2 , 4 5 \cdot 4 7 , 8}) = 67 ° 2 9^{'} 55 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 67 ° 2 9^{'} 55 " - 67 ° 2 9^{'} 55 " = 45 ° 10 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 7 8 , 9 3}{8 6 , 3 5} = 15, 97

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 2 , 4 5 \cdot 6 2 , 4 5 \cdot 4 7 , 8}{4 \cdot 1 5 , 9 6 9 \cdot 8 6 , 3 5} = 33, 8

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 2 , 4 5 ^{2} + 2 \cdot 4 7 , 8 ^{2} - 6 2 , 4 5 ^{2}}{2} = 46, 015 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 7 , 8 ^{2} + 2 \cdot 6 2 , 4 5 ^{2} - 6 2 , 4 5 ^{2}}{2} = 46, 015 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 2 , 4 5 ^{2} + 2 \cdot 6 2 , 4 5 ^{2} - 4 7 , 8 ^{2}}{2} = 57, 696

Vypočítať ďaľší trojuholník