Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 63
b = 54
c = 36

Obsah trojuholníka: S = 970.10997049273
Obvod trojuholníka: o = 153
Semiperimeter (poloobvod): s = 76,5

Uhol ∠ A = α = 86,41766783015° = 86°25' = 1,5088255565 rad
Uhol ∠ B = β = 58,81113776665° = 58°48'41″ = 1,02664521779 rad
Uhol ∠ C = γ = 34,77219440319° = 34°46'19″ = 0,60768849107 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 30,79768160294
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 35,9329618701
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 53,89444280515

Ťažnica: t_a = 33,37328931919
Ťažnica: t_b = 43,62991187167
Ťažnica: t_c = 55,8443531407

Polomer vpísanej kružnice: r = 12,68110418945
Polomer opísanej kružnice: R = 31,56217042707

Súradnice vrcholov: A[36; 0] B[0; 0] C[32,625; 53,89444280515]
Ťažisko: T[22,875; 17,96548093505]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[18; 25,92656856509]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[22,5; 12,68110418945]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 93,58333216985° = 93°35' = 1,5088255565 rad
∠ B' = β' = 121,18986223335° = 121°11'19″ = 1,02664521779 rad
∠ C' = γ' = 145,22880559681° = 145°13'41″ = 0,60768849107 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 63 b = 54 c = 36

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 63 + 54 + 36 = 153

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 5 3}{2} = 76, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 76, 5 (76, 5 - 63) (76, 5 - 54) (76, 5 - 36) S = 941093, 44 = 970, 1

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 7 0 , 1}{6 3} = 30, 8 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 7 0 , 1}{5 4} = 35, 93 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 7 0 , 1}{3 6} = 53, 89

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 4 ^{2} + 3 6 ^{2} - 6 3 ^{2}}{2 \cdot 5 4 \cdot 3 6}) = 86 ° 2 5^{'} b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 3 ^{2} + 3 6 ^{2} - 5 4 ^{2}}{2 \cdot 6 3 \cdot 3 6}) = 58 ° 4 8^{'} 41 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 86 ° 2 5^{'} - 58 ° 4 8^{'} 41 " = 34 ° 4 6^{'} 19 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 7 0 , 1}{7 6 , 5} = 12, 68

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 3 \cdot 5 4 \cdot 3 6}{4 \cdot 1 2 , 6 8 1 \cdot 7 6 , 5} = 31, 56

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 4 ^{2} + 2 \cdot 3 6 ^{2} - 6 3 ^{2}}{2} = 33, 373 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 6 ^{2} + 2 \cdot 6 3 ^{2} - 5 4 ^{2}}{2} = 43, 629 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 3 ^{2} + 2 \cdot 5 4 ^{2} - 3 6 ^{2}}{2} = 55, 844

Vypočítať ďaľší trojuholník