Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Pravouhlý rôznostranný Pytagorejský trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 65
b = 39
c = 52
Obsah trojuholníka: S = 1014
Obvod trojuholníka: o = 156
Semiperimeter (poloobvod): s = 78
Uhol ∠ A = α = 90° = 1,57107963268 rad
Uhol ∠ B = β = 36,87698976458° = 36°52'12″ = 0,64435011088 rad
Uhol ∠ C = γ = 53,13301023542° = 53°7'48″ = 0,9277295218 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 31,2
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 52
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 39
Ťažnica: ta = 32,5
Ťažnica: tb = 55,53660243446
Ťažnica: tc = 46,8722166581
Polomer vpísanej kružnice: r = 13
Polomer opísanej kružnice: R = 32,5
Súradnice vrcholov: A[52; 0] B[0; 0] C[52; 39]
Ťažisko: T[34,66766666667; 13]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[26; 19,5]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[39; 13]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 90° = 1,57107963268 rad
∠ B' = β' = 143,13301023542° = 143°7'48″ = 0,64435011088 rad
∠ C' = γ' = 126,87698976458° = 126°52'12″ = 0,9277295218 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=65 b=39 c=52
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=65+39+52=156
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=2156=78
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=78(78−65)(78−39)(78−52) S=1028196=1014
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=652⋅ 1014=31,2 vb=b2 S=392⋅ 1014=52 vc=c2 S=522⋅ 1014=39
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 39⋅ 52392+522−652)=90° b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 65⋅ 52652+522−392)=36°52′12" γ=180°−α−β=180°−90°−36°52′12"=53°7′48"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=781014=13
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 13⋅ 7865⋅ 39⋅ 52=32,5
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 392+2⋅ 522−652=32,5 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 522+2⋅ 652−392=55,536 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 652+2⋅ 392−522=46,872
Vypočítať ďaľší trojuholník