Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 65
b = 46
c = 34,39

Obsah trojuholníka: S = 756,309901737
Obvod trojuholníka: o = 145,39
Semiperimeter (poloobvod): s = 72,695

Uhol ∠ A = α = 107,02545988146° = 107°1'29″ = 1,86879316299 rad
Uhol ∠ B = β = 42,58547967477° = 42°35'5″ = 0,74332449145 rad
Uhol ∠ C = γ = 30,39106044378° = 30°23'26″ = 0,53304161091 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 23,27110466883
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 32,88330007552
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 43,98442406147

Ťažnica: t_a = 24,35333580847
Ťažnica: t_b = 46,63551375038
Ťažnica: t_c = 53,61774596097

Polomer vpísanej kružnice: r = 10,40438657042
Polomer opísanej kružnice: R = 33,98994466542

Súradnice vrcholov: A[34,39; 0] B[0; 0] C[47,85879834254; 43,98442406147]
Ťažisko: T[27,41659944751; 14,66114135382]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[17,195; 29,31991824385]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[26,695; 10,40438657042]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 72,97554011854° = 72°58'31″ = 1,86879316299 rad
∠ B' = β' = 137,41552032523° = 137°24'55″ = 0,74332449145 rad
∠ C' = γ' = 149,60993955622° = 149°36'34″ = 0,53304161091 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 65 b = 46 c = 34, 39

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 65 + 46 + 34, 39 = 145, 39

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 4 5 , 3 9}{2} = 72, 7

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 72, 7 (72, 7 - 65) (72, 7 - 46) (72, 7 - 34, 39) S = 572003, 33 = 756, 31

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 5 6 , 3 1}{6 5} = 23, 27 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 5 6 , 3 1}{4 6} = 32, 88 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 5 6 , 3 1}{3 4 , 3 9} = 43, 98

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{4 6 ^{2} + 3 4 , 3 9 ^{2} - 6 5 ^{2}}{2 \cdot 4 6 \cdot 3 4 , 3 9}) = 107 ° 1^{'} 29 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 5 ^{2} + 3 4 , 3 9 ^{2} - 4 6 ^{2}}{2 \cdot 6 5 \cdot 3 4 , 3 9}) = 42 ° 3 5^{'} 5 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 107 ° 1^{'} 29 " - 42 ° 3 5^{'} 5 " = 30 ° 2 3^{'} 26 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 5 6 , 3 1}{7 2 , 7} = 10, 4

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 5 \cdot 4 6 \cdot 3 4 , 3 9}{4 \cdot 1 0 , 4 0 4 \cdot 7 2 , 6 9 5} = 33, 99

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 6 ^{2} + 2 \cdot 3 4 , 3 9 ^{2} - 6 5 ^{2}}{2} = 24, 353 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 4 , 3 9 ^{2} + 2 \cdot 6 5 ^{2} - 4 6 ^{2}}{2} = 46, 635 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 5 ^{2} + 2 \cdot 4 6 ^{2} - 3 4 , 3 9 ^{2}}{2} = 53, 617

Vypočítať ďaľší trojuholník