Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 65
b = 46
c = 61,33

Obsah trojuholníka: S = 1348,74771822935
Obvod trojuholníka: o = 172,33
Semiperimeter (poloobvod): s = 86,165

Uhol ∠ A = α = 72,97113012756° = 72°58'17″ = 1,27435894667 rad
Uhol ∠ B = β = 42,58436428449° = 42°35'1″ = 0,74332247751 rad
Uhol ∠ C = γ = 64,44550558795° = 64°26'42″ = 1,12547784117 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 41.54999133013
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 58,64111818388
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 43,98332767746

Ťažnica: t_a = 43,38770308963
Ťažnica: t_b = 58,85773228239
Ťažnica: t_c = 47,22545463186

Polomer vpísanej kružnice: r = 15,65330747089
Polomer opísanej kružnice: R = 33,99901914917

Súradnice vrcholov: A[61,33; 0] B[0; 0] C[47,8598869232; 43,98332767746]
Ťažisko: T[36,3966289744; 14,66110922582]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[30,665; 14,66325677369]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[40,165; 15,65330747089]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 107,02986987244° = 107°1'43″ = 1,27435894667 rad
∠ B' = β' = 137,41663571551° = 137°24'59″ = 0,74332247751 rad
∠ C' = γ' = 115,55549441205° = 115°33'18″ = 1,12547784117 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 65 b = 46 c = 61, 33

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 65 + 46 + 61, 33 = 172, 33

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 7 2 , 3 3}{2} = 86, 17

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 86, 17 (86, 17 - 65) (86, 17 - 46) (86, 17 - 61, 33) S = 1819118, 96 = 1348, 75

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 4 8 , 7 5}{6 5} = 41, 5 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 4 8 , 7 5}{4 6} = 58, 64 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 4 8 , 7 5}{6 1 , 3 3} = 43, 98

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{4 6 ^{2} + 6 1 , 3 3 ^{2} - 6 5 ^{2}}{2 \cdot 4 6 \cdot 6 1 , 3 3}) = 72 ° 5 8^{'} 17 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 5 ^{2} + 6 1 , 3 3 ^{2} - 4 6 ^{2}}{2 \cdot 6 5 \cdot 6 1 , 3 3}) = 42 ° 3 5^{'} 1 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 72 ° 5 8^{'} 17 " - 42 ° 3 5^{'} 1 " = 64 ° 2 6^{'} 42 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 4 8 , 7 5}{8 6 , 1 7} = 15, 65

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 5 \cdot 4 6 \cdot 6 1 , 3 3}{4 \cdot 1 5 , 6 5 3 \cdot 8 6 , 1 6 5} = 33, 99

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 6 ^{2} + 2 \cdot 6 1 , 3 3 ^{2} - 6 5 ^{2}}{2} = 43, 387 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 1 , 3 3 ^{2} + 2 \cdot 6 5 ^{2} - 4 6 ^{2}}{2} = 58, 857 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 5 ^{2} + 2 \cdot 4 6 ^{2} - 6 1 , 3 3 ^{2}}{2} = 47, 225

Vypočítať ďaľší trojuholník