Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 7
b = 7,14
c = 10

Obsah trojuholníka: S = 24,99899994796
Obvod trojuholníka: o = 24,14
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,07

Uhol ∠ A = α = 44,42770028313° = 44°25'37″ = 0,77553974762 rad
Uhol ∠ B = β = 45,56113041524° = 45°33'41″ = 0,7955194769 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,01216930163° = 90°42″ = 1,57110004084 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 7,14399998513
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 76,9999998542
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 4,99879998959

Ťažnica: t_a = 7,95223455659
Ťažnica: t_b = 7,85884413213
Ťažnica: t_c = 4,99989798959

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,07704224921
Polomer opísanej kružnice: R = 55,0000001041

Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[4,901102; 4,99879998959]
Ťažisko: T[4,96770066667; 1,66659999653]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; -0,00110204082]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,93; 2,07704224921]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 135,57329971687° = 135°34'23″ = 0,77553974762 rad
∠ B' = β' = 134,43986958476° = 134°26'19″ = 0,7955194769 rad
∠ C' = γ' = 89,98883069837° = 89°59'18″ = 1,57110004084 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 7, 14 c = 10

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 7, 14 + 10 = 24, 14

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 4 , 1 4}{2} = 12, 07

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 12, 07 (12, 07 - 7) (12, 07 - 7, 14) (12, 07 - 10) S = 624, 5 = 24, 99

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 4 , 9 9}{7} = 7, 14 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 4 , 9 9}{7 , 1 4} = 7 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 4 , 9 9}{1 0} = 5

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 , 1 4 ^{2} + 1 0 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 7 , 1 4 \cdot 1 0}) = 44 ° 2 5^{'} 37 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 0 ^{2} - 7 , 1 4 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 0}) = 45 ° 3 3^{'} 41 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 44 ° 2 5^{'} 37 " - 45 ° 3 3^{'} 41 " = 90 ° 42 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 4 , 9 9}{1 2 , 0 7} = 2, 07

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 7 , 1 4 \cdot 1 0}{4 \cdot 2 , 0 7 \cdot 1 2 , 0 7} = 5

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 7, 952 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 7 , 1 4 ^{2}}{2} = 7, 858 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 7 , 1 4 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 4, 999

Vypočítať ďaľší trojuholník