Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 7
b = 9
c = 11,4

Obsah trojuholníka: S = 31.54999984127
Obvod trojuholníka: o = 27,4
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,7

Uhol ∠ A = α = 37,8821839212° = 37°52'55″ = 0,6611162821 rad
Uhol ∠ B = β = 52,13663499247° = 52°8'11″ = 0,91099509662 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,98218108633° = 89°58'55″ = 1,57704788665 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 98,9999995465
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 76,9999996473
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 5,5266315511

Ťažnica: t_a = 9,65655683416
Ťažnica: t_b = 8,32204567182
Ťažnica: t_c = 5,70217541161

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,29992699571
Polomer opísanej kružnice: R = 5.77000002872

Súradnice vrcholov: A[11,4; 0] B[0; 0] C[4,29664912281; 5,5266315511]
Ťažisko: T[5,23221637427; 1,84221051703]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,7; 0,00218095239]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,7; 2,29992699571]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 142,1188160788° = 142°7'5″ = 0,6611162821 rad
∠ B' = β' = 127,86436500753° = 127°51'49″ = 0,91099509662 rad
∠ C' = γ' = 90,01881891367° = 90°1'5″ = 1,57704788665 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 9 c = 11, 4

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 9 + 11, 4 = 27, 4

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 7 , 4}{2} = 13, 7

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13, 7 (13, 7 - 7) (13, 7 - 9) (13, 7 - 11, 4) S = 992, 25 = 31, 5

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 1 , 5}{7} = 9 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 1 , 5}{9} = 7 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 1 , 5}{1 1 , 4} = 5, 53

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 1 , 4 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 1 , 4}) = 37 ° 5 2^{'} 55 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 1 , 4 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 1 , 4}) = 52 ° 8^{'} 11 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 37 ° 5 2^{'} 55 " - 52 ° 8^{'} 11 " = 89 ° 5 8^{'} 55 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 1 , 5}{1 3 , 7} = 2, 3

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 9 \cdot 1 1 , 4}{4 \cdot 2 , 2 9 9 \cdot 1 3 , 7} = 5, 7

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 1 , 4 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 9, 656 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 , 4 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 8, 32 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 1 , 4 ^{2}}{2} = 5, 702

Vypočítať ďaľší trojuholník