Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Rovnostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 7,1
b = 7,1
c = 7,1

Obsah trojuholníka: S = 21,82881703024
Obvod trojuholníka: o = 21,3
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,65

Uhol ∠ A = α = 60° = 1,04771975512 rad
Uhol ∠ B = β = 60° = 1,04771975512 rad
Uhol ∠ C = γ = 60° = 1,04771975512 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 6,14987803669
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 6,14987803669
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 6,14987803669

Ťažnica: t_a = 6,14987803669
Ťažnica: t_b = 6,14987803669
Ťažnica: t_c = 6,14987803669

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,05495934556
Polomer opísanej kružnice: R = 4,09991869112

Súradnice vrcholov: A[7,1; 0] B[0; 0] C[3,55; 6,14987803669]
Ťažisko: T[3,55; 2,05495934556]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,55; 2,05495934556]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,55; 2,05495934556]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ B' = β' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ C' = γ' = 120° = 1,04771975512 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7, 1 b = 7, 1 c = 7, 1

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7, 1 + 7, 1 + 7, 1 = 21, 3

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 1 , 3}{2} = 10, 65

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 10, 65 (10, 65 - 7, 1) (10, 65 - 7, 1) (10, 65 - 7, 1) S = 476, 47 = 21, 83

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 1 , 8 3}{7 , 1} = 6, 15 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 1 , 8 3}{7 , 1} = 6, 15 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 1 , 8 3}{7 , 1} = 6, 15

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 , 1 ^{2} + 7 , 1 ^{2} - 7 , 1 ^{2}}{2 \cdot 7 , 1 \cdot 7 , 1}) = 60 ° b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 , 1 ^{2} + 7 , 1 ^{2} - 7 , 1 ^{2}}{2 \cdot 7 , 1 \cdot 7 , 1}) = 60 ° γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 60 ° - 60 ° = 60 °

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 1 , 8 3}{1 0 , 6 5} = 2, 05

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 , 1 \cdot 7 , 1 \cdot 7 , 1}{4 \cdot 2 , 0 5 \cdot 1 0 , 6 5} = 4, 1

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 1 ^{2} + 2 \cdot 7 , 1 ^{2} - 7 , 1 ^{2}}{2} = 6, 149 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 1 ^{2} + 2 \cdot 7 , 1 ^{2} - 7 , 1 ^{2}}{2} = 6, 149 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 1 ^{2} + 2 \cdot 7 , 1 ^{2} - 7 , 1 ^{2}}{2} = 6, 149

Vypočítať ďaľší trojuholník