Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 7,2
b = 10,4
c = 12,65

Obsah trojuholníka: S = 37,44399995774
Obvod trojuholníka: o = 30,25
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,125

Uhol ∠ A = α = 34,69223643874° = 34°41'32″ = 0,60554959839 rad
Uhol ∠ B = β = 55,29990274727° = 55°17'57″ = 0,96551501025 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,009860814° = 90°31″ = 1,57109465672 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 10.43999998826
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 7.21999999187
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 5,91993675221

Ťažnica: t_a = 11,00659642921
Ťažnica: t_b = 8,8822074645
Ťažnica: t_c = 6,32441106094

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,47553718729
Polomer opísanej kružnice: R = 6,32550000714

Súradnice vrcholov: A[12,65; 0] B[0; 0] C[4,09989130435; 5,91993675221]
Ťažisko: T[5,58329710145; 1,97331225074]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,325; -0,00109502704]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,725; 2,47553718729]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 145,30876356126° = 145°18'28″ = 0,60554959839 rad
∠ B' = β' = 124,70109725274° = 124°42'3″ = 0,96551501025 rad
∠ C' = γ' = 89,991139186° = 89°59'29″ = 1,57109465672 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7, 2 b = 10, 4 c = 12, 65

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7, 2 + 10, 4 + 12, 65 = 30, 25

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 0 , 2 5}{2} = 15, 13

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 15, 13 (15, 13 - 7, 2) (15, 13 - 10, 4) (15, 13 - 12, 65) S = 1401, 75 = 37, 44

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 7 , 4 4}{7 , 2} = 10, 4 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 7 , 4 4}{1 0 , 4} = 7, 2 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 7 , 4 4}{1 2 , 6 5} = 5, 92

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 , 4 ^{2} + 1 2 , 6 5 ^{2} - 7 , 2 ^{2}}{2 \cdot 1 0 , 4 \cdot 1 2 , 6 5}) = 34 ° 4 1^{'} 32 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 , 2 ^{2} + 1 2 , 6 5 ^{2} - 1 0 , 4 ^{2}}{2 \cdot 7 , 2 \cdot 1 2 , 6 5}) = 55 ° 1 7^{'} 57 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 34 ° 4 1^{'} 32 " - 55 ° 1 7^{'} 57 " = 90 ° 31 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 7 , 4 4}{1 5 , 1 3} = 2, 48

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 , 2 \cdot 1 0 , 4 \cdot 1 2 , 6 5}{4 \cdot 2 , 4 7 5 \cdot 1 5 , 1 2 5} = 6, 33

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 , 4 ^{2} + 2 \cdot 1 2 , 6 5 ^{2} - 7 , 2 ^{2}}{2} = 11, 006 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 , 6 5 ^{2} + 2 \cdot 7 , 2 ^{2} - 1 0 , 4 ^{2}}{2} = 8, 882 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 2 ^{2} + 2 \cdot 1 0 , 4 ^{2} - 1 2 , 6 5 ^{2}}{2} = 6, 324

Vypočítať ďaľší trojuholník