Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 7,5
b = 12,5
c = 17,5

Obsah trojuholníka: S = 40,59549408024
Obvod trojuholníka: o = 37,5
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,75

Uhol ∠ A = α = 21,78767892983° = 21°47'12″ = 0,38802512067 rad
Uhol ∠ B = β = 38,21332107017° = 38°12'48″ = 0,66769463445 rad
Uhol ∠ C = γ = 120° = 2,09443951024 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 10,82553175473
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 6,49551905284
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 4,6399421806

Ťažnica: t_a = 14,73772826532
Ťažnica: t_b = 11,92442400177
Ťažnica: t_c = 5,44986236794

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,16550635095
Polomer opísanej kružnice: R = 10,10436297108

Súradnice vrcholov: A[17,5; 0] B[0; 0] C[5,89328571429; 4,6399421806]
Ťažisko: T[7,79876190476; 1,54664739353]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,75; -5,05218148554]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,25; 2,16550635095]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 158,21332107017° = 158°12'48″ = 0,38802512067 rad
∠ B' = β' = 141,78767892983° = 141°47'12″ = 0,66769463445 rad
∠ C' = γ' = 60° = 2,09443951024 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7, 5 b = 12, 5 c = 17, 5

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7, 5 + 12, 5 + 17, 5 = 37, 5

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 7 , 5}{2} = 18, 75

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 18, 75 (18, 75 - 7, 5) (18, 75 - 12, 5) (18, 75 - 17, 5) S = 1647, 95 = 40, 59

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 0 , 5 9}{7 , 5} = 10, 83 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 0 , 5 9}{1 2 , 5} = 6, 5 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 0 , 5 9}{1 7 , 5} = 4, 64

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 , 5 ^{2} + 1 7 , 5 ^{2} - 7 , 5 ^{2}}{2 \cdot 1 2 , 5 \cdot 1 7 , 5}) = 21 ° 4 7^{'} 12 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 , 5 ^{2} + 1 7 , 5 ^{2} - 1 2 , 5 ^{2}}{2 \cdot 7 , 5 \cdot 1 7 , 5}) = 38 ° 1 2^{'} 48 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 21 ° 4 7^{'} 12 " - 38 ° 1 2^{'} 48 " = 120 °

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 0 , 5 9}{1 8 , 7 5} = 2, 17

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 , 5 \cdot 1 2 , 5 \cdot 1 7 , 5}{4 \cdot 2 , 1 6 5 \cdot 1 8 , 7 5} = 10, 1

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 , 5 ^{2} + 2 \cdot 1 7 , 5 ^{2} - 7 , 5 ^{2}}{2} = 14, 737 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 , 5 ^{2} + 2 \cdot 7 , 5 ^{2} - 1 2 , 5 ^{2}}{2} = 11, 924 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 5 ^{2} + 2 \cdot 1 2 , 5 ^{2} - 1 7 , 5 ^{2}}{2} = 5, 449

Vypočítať ďaľší trojuholník