Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Pravouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 7,5
b = 18
c = 19,5
Obsah trojuholníka: S = 67,5
Obvod trojuholníka: o = 45
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,5
Uhol ∠ A = α = 22,6219864948° = 22°37'11″ = 0,39547911197 rad
Uhol ∠ B = β = 67,3880135052° = 67°22'49″ = 1,17660052071 rad
Uhol ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 18
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 7,5
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 6,92330769231
Ťažnica: ta = 18,38664760082
Ťažnica: tb = 11,71553745139
Ťažnica: tc = 9,75
Polomer vpísanej kružnice: r = 3
Polomer opísanej kružnice: R = 9,75
Súradnice vrcholov: A[19,5; 0] B[0; 0] C[2,88546153846; 6,92330769231]
Ťažisko: T[7,46215384615; 2,30876923077]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9,75; -0]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 3]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 157,3880135052° = 157°22'49″ = 0,39547911197 rad
∠ B' = β' = 112,6219864948° = 112°37'11″ = 1,17660052071 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7,5 b=18 c=19,5
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7,5+18+19,5=45
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=245=22,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22,5(22,5−7,5)(22,5−18)(22,5−19,5) S=4556,25=67,5
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=7,52⋅ 67,5=18 vb=b2 S=182⋅ 67,5=7,5 vc=c2 S=19,52⋅ 67,5=6,92
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 18⋅ 19,5182+19,52−7,52)=22°37′11" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7,5⋅ 19,57,52+19,52−182)=67°22′49" γ=180°−α−β=180°−22°37′11"−67°22′49"=90°
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=22,567,5=3
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3⋅ 22,57,5⋅ 18⋅ 19,5=9,75
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 182+2⋅ 19,52−7,52=18,386 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 19,52+2⋅ 7,52−182=11,715 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 7,52+2⋅ 182−19,52=9,75
Vypočítať ďaľší trojuholník