Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 7,5
b = 8,5
c = 11,34

Obsah trojuholníka: S = 31,87549910398
Obvod trojuholníka: o = 27,34
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,67

Uhol ∠ A = α = 41,40548589186° = 41°24'17″ = 0,72326511145 rad
Uhol ∠ B = β = 48,55221804772° = 48°33'8″ = 0,84773954083 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,04329606042° = 90°2'35″ = 1,57215461308 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 8.54999976106
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 7.54999978917
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 5,62216915414

Ťažnica: t_a = 9,29330242655
Ťažnica: t_b = 8,62332418498
Ťažnica: t_c = 5,66657832645

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,33217476986
Polomer opísanej kružnice: R = 5,67700015939

Súradnice vrcholov: A[11,34; 0] B[0; 0] C[4,96545326279; 5,62216915414]
Ťažisko: T[5,43548442093; 1,87438971805]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,67; -0,00442513894]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,17; 2,33217476986]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 138,59551410814° = 138°35'43″ = 0,72326511145 rad
∠ B' = β' = 131,44878195228° = 131°26'52″ = 0,84773954083 rad
∠ C' = γ' = 89,95770393958° = 89°57'25″ = 1,57215461308 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7, 5 b = 8, 5 c = 11, 34

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7, 5 + 8, 5 + 11, 34 = 27, 34

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 7 , 3 4}{2} = 13, 67

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13, 67 (13, 67 - 7, 5) (13, 67 - 8, 5) (13, 67 - 11, 34) S = 1016, 02 = 31, 87

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 1 , 8 7}{7 , 5} = 8, 5 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 1 , 8 7}{8 , 5} = 7, 5 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 1 , 8 7}{1 1 , 3 4} = 5, 62

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{8 , 5 ^{2} + 1 1 , 3 4 ^{2} - 7 , 5 ^{2}}{2 \cdot 8 , 5 \cdot 1 1 , 3 4}) = 41 ° 2 4^{'} 17 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 , 5 ^{2} + 1 1 , 3 4 ^{2} - 8 , 5 ^{2}}{2 \cdot 7 , 5 \cdot 1 1 , 3 4}) = 48 ° 3 3^{'} 8 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 41 ° 2 4^{'} 17 " - 48 ° 3 3^{'} 8 " = 90 ° 2^{'} 35 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 1 , 8 7}{1 3 , 6 7} = 2, 33

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 , 5 \cdot 8 , 5 \cdot 1 1 , 3 4}{4 \cdot 2 , 3 3 2 \cdot 1 3 , 6 7} = 5, 67

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 , 5 ^{2} + 2 \cdot 1 1 , 3 4 ^{2} - 7 , 5 ^{2}}{2} = 9, 293 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 , 3 4 ^{2} + 2 \cdot 7 , 5 ^{2} - 8 , 5 ^{2}}{2} = 8, 623 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 5 ^{2} + 2 \cdot 8 , 5 ^{2} - 1 1 , 3 4 ^{2}}{2} = 5, 666

Vypočítať ďaľší trojuholník