Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 70,71
b = 50
c = 50

Obsah trojuholníka: S = 12509,9999997701
Obvod trojuholníka: o = 170,71
Semiperimeter (poloobvod): s = 85,355

Uhol ∠ A = α = 89,99989010669° = 89°59'56″ = 1,57107771468 rad
Uhol ∠ B = β = 45,00105494665° = 45°2″ = 0,78554077534 rad
Uhol ∠ C = γ = 45,00105494665° = 45°2″ = 0,78554077534 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 35,35656781154
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 509,9999999908
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 509,9999999908

Ťažnica: t_a = 35,35656781154
Ťažnica: t_b = 55,9011270558
Ťažnica: t_c = 55,9011270558

Polomer vpísanej kružnice: r = 14,64547191116
Polomer opísanej kružnice: R = 35,35550000065

Súradnice vrcholov: A[50; 0] B[0; 0] C[49,9999041; 509,9999999908]
Ťažisko: T[33,33330136667; 16,66766666636]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[25; 254,9995205046]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[35,355; 14,64547191116]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 90,00110989331° = 90°4″ = 1,57107771468 rad
∠ B' = β' = 134,99994505335° = 134°59'58″ = 0,78554077534 rad
∠ C' = γ' = 134,99994505335° = 134°59'58″ = 0,78554077534 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 70, 71 b = 50 c = 50

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 70, 71 + 50 + 50 = 170, 71

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 7 0 , 7 1}{2} = 85, 36

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 85, 36 (85, 36 - 70, 71) (85, 36 - 50) (85, 36 - 50) S = 1562500 = 1250

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2 5 0}{7 0 , 7 1} = 35, 36 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2 5 0}{5 0} = 50 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2 5 0}{5 0} = 50

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2 5 0}{8 5 , 3 6} = 14, 64

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 0 , 7 1 \cdot 5 0 \cdot 5 0}{4 \cdot 1 4 , 6 4 5 \cdot 8 5 , 3 5 5} = 35, 36

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

Vypočítať ďaľší trojuholník