Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 76
b = 43,82
c = 44

Obsah trojuholníka: S = 836,0743737948
Obvod trojuholníka: o = 163,82
Semiperimeter (poloobvod): s = 81,91

Uhol ∠ A = α = 119,85881730703° = 119°51'29″ = 2,09219197555 rad
Uhol ∠ B = β = 30,00329177841° = 30°11″ = 0,52436497005 rad
Uhol ∠ C = γ = 30,13989091455° = 30°8'20″ = 0,52660231975 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 22,00219404723
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 38,1599458601
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 38,00333517249

Ťažnica: t_a = 22,0022186255
Ťažnica: t_b = 58,10329422663
Ťažnica: t_c = 58,00108293044

Polomer vpísanej kružnice: r = 10,20772242455
Polomer opísanej kružnice: R = 43,81661352728

Súradnice vrcholov: A[44; 0] B[0; 0] C[65,81659954545; 38,00333517249]
Ťažisko: T[36,60553318182; 12,66877839083]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[22; 37,89326603744]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[38,09; 10,20772242455]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 60,14218269297° = 60°8'31″ = 2,09219197555 rad
∠ B' = β' = 149,99770822159° = 149°59'49″ = 0,52436497005 rad
∠ C' = γ' = 149,86110908545° = 149°51'40″ = 0,52660231975 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 76 b = 43, 82 c = 44

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 76 + 43, 82 + 44 = 163, 82

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 6 3 , 8 2}{2} = 81, 91

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 81, 91 (81, 91 - 76) (81, 91 - 43, 82) (81, 91 - 44) S = 699019, 3 = 836, 07

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 3 6 , 0 7}{7 6} = 22 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 3 6 , 0 7}{4 3 , 8 2} = 38, 16 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 3 6 , 0 7}{4 4} = 38

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{4 3 , 8 2 ^{2} + 4 4 ^{2} - 7 6 ^{2}}{2 \cdot 4 3 , 8 2 \cdot 4 4}) = 119 ° 5 1^{'} 29 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 6 ^{2} + 4 4 ^{2} - 4 3 , 8 2 ^{2}}{2 \cdot 7 6 \cdot 4 4}) = 30 ° 11 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 119 ° 5 1^{'} 29 " - 30 ° 11 " = 30 ° 8^{'} 20 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 3 6 , 0 7}{8 1 , 9 1} = 10, 21

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 6 \cdot 4 3 , 8 2 \cdot 4 4}{4 \cdot 1 0 , 2 0 7 \cdot 8 1 , 9 1} = 43, 82

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 3 , 8 2 ^{2} + 2 \cdot 4 4 ^{2} - 7 6 ^{2}}{2} = 22, 002 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 4 ^{2} + 2 \cdot 7 6 ^{2} - 4 3 , 8 2 ^{2}}{2} = 58, 103 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 6 ^{2} + 2 \cdot 4 3 , 8 2 ^{2} - 4 4 ^{2}}{2} = 58, 001

Vypočítať ďaľší trojuholník