Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 8
b = 12
c = 14,42

Obsah trojuholníka: S = 487,9999973666
Obvod trojuholníka: o = 34,42
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,21

Uhol ∠ A = α = 33,69659067301° = 33°41'45″ = 0,58881045169 rad
Uhol ∠ B = β = 56,32330724972° = 56°19'23″ = 0,98330230599 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,98110207727° = 89°58'52″ = 1,57704650768 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 121,9999993416
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 87,9999995611
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 6,65774198844

Ťažnica: t_a = 12,64878535728
Ťažnica: t_b = 9,99884098736
Ťažnica: t_c = 7,21222049333

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,78990759655
Polomer opísanej kružnice: R = 7,21100003956

Súradnice vrcholov: A[14,42; 0] B[0; 0] C[4,4366074896; 6,65774198844]
Ťažisko: T[6,28553582987; 2,21991399615]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,21; 0,00223883126]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,21; 2,78990759655]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 146,30440932699° = 146°18'15″ = 0,58881045169 rad
∠ B' = β' = 123,67769275028° = 123°40'37″ = 0,98330230599 rad
∠ C' = γ' = 90,01989792273° = 90°1'8″ = 1,57704650768 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 8 b = 12 c = 14, 42

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 8 + 12 + 14, 42 = 34, 42

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 4 , 4 2}{2} = 17, 21

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 17, 21 (17, 21 - 8) (17, 21 - 12) (17, 21 - 14, 42) S = 2304 = 48

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 8}{8} = 12 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 8}{1 2} = 8 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 8}{1 4 , 4 2} = 6, 66

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 4 , 4 2 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 4 , 4 2}) = 33 ° 4 1^{'} 45 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 4 , 4 2 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 4 , 4 2}) = 56 ° 1 9^{'} 23 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 33 ° 4 1^{'} 45 " - 56 ° 1 9^{'} 23 " = 89 ° 5 8^{'} 52 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 8}{1 7 , 2 1} = 2, 79

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 2 \cdot 1 4 , 4 2}{4 \cdot 2 , 7 8 9 \cdot 1 7 , 2 1} = 7, 21

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 4 , 4 2 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 12, 648 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 , 4 2 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 9, 998 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 4 , 4 2 ^{2}}{2} = 7, 212

Vypočítať ďaľší trojuholník